حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

خطوة 3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 8$

خطوة 3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 8$

خطوة 3.3

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 12 \cdot 1 - 8$

خطوة 3.4

اضرب $- 5$ في $1$ .

$1 - 5 + 12 \cdot 1 - 8$

خطوة 3.5

اطرح $5$ من $1$ .

$- 4 + 12 \cdot 1 - 8$

خطوة 3.6

اضرب $12$ في $1$ .

$- 4 + 12 - 8$

خطوة 3.7

أضف $- 4$ و $12$ .

$8 - 8$

خطوة 3.8

اطرح $8$ من $8$ .

$0$

خطوة 4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8}{x - 1}$

خطوة 5

اقسِم $x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$12 x$

$8$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

خطوة 5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

خطوة 5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

خطوة 5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$

خطوة 5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$

خطوة 5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $8 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$

خطوة 5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$
							+	$8 x$	-	$8$

خطوة 5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $8 x - 8$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$
							-	$8 x$	+	$8$

خطوة 5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$
							-	$8 x$	+	$8$
										$0$

خطوة 5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 4 x + 8$

خطوة 6

اكتب $x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8$ في صورة مجموعة من العوامل.

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 4 x + 8)$