حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \tan (2 x)$ , $x = \frac{π}{6}$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $\frac{π}{6}$ عن $x$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب $2$ في $\frac{π}{6}$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 1.2.2

بسّط $\tan (2 (\frac{π}{6}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y = \tan (2 \frac{π}{2 (3)})$

خطوة 1.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

خطوة 1.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \tan (\frac{π}{3})$

خطوة 1.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{π}{6}$ و $y = \sqrt{3}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

خطوة 2.3

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{π}{6}$ .

$2 \sec^{2} (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 (3)})$

خطوة 2.4.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

خطوة 2.4.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{3})$ هي $2$ .

$2 \cdot 2^{2}$

خطوة 2.4.3

اضرب $2$ في $2^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اضرب $2$ في $2^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{2}$

خطوة 2.4.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2^{1 + 2}$

خطوة 2.4.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$2^{3}$

خطوة 2.4.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $8$ ونقطة مُعطاة $(\frac{π}{6}, \sqrt{3})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{3}) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $8 \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 (- \frac{π}{6})$

خطوة 3.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 \frac{- π}{6}$

خطوة 3.3.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{6}$

خطوة 3.3.1.4.3

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.1.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.1.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 4 \frac{- π}{3}$

خطوة 3.3.1.5

اجمع $4$ و $\frac{- π}{3}$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{4 (- π)}{3}$

خطوة 3.3.1.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.6.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{- 4 π}{3}$

خطوة 3.3.1.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \sqrt{3} = 8 x - \frac{4 π}{3}$

خطوة 3.3.2

أضف $\sqrt{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لكتابة $\sqrt{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.3.2

اجمع $\sqrt{3}$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

خطوة 3.3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = 8 x + \frac{- 4 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

خطوة 3.3.3.4

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- 4 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 3.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 π$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π) + 3 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 3.3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $3 \sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})}{3}$

خطوة 3.3.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

خطوة 3.3.3.8

أعِد كتابة $- (4 π - 3 \sqrt{3})$ بالصيغة $- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})$ .

$y = 8 x + \frac{- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

خطوة 3.3.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = 8 x - \frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 4