حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{4} (125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ و ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ من ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم ${(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$ على $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$

خطوة 2.2.3

أضف $n$ و $0$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - (n - 1)}$

خطوة 2.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n - - 1}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n + 1}$

خطوة 2.2.5

اطرح $n$ من $n$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{0 + 1}$

خطوة 2.2.6

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{1}$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$r = \frac{1}{5}$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ في $(125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{1 - 1}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{0}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{5}$ .

$a = 125 \frac{1^{0}}{5^{0}}$

خطوة 3.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 125 \frac{1}{5^{0}}$

خطوة 3.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 125 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$a = 125 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$a = 125 \cdot 1$

خطوة 3.2.6

اضرب $125$ في $1$ .

$a = 125$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$125 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$ في $\frac{5}{5}$ .

$125 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}})$

خطوة 5.1.2

اجمع.

$125 \frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{5}$ إلى بسط الكسر.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $5$ في $1$ .

$125 \frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{5}$ .

$125 \frac{5 + 5 (- \frac{1^{4}}{5^{4}})}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1^{4}}{5^{4}}$ إلى بسط الكسر.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5^{4}}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $5$ من $5^{4}$ .

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$125 \frac{5 + \frac{- 1^{4}}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.5

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$125 \frac{5 - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.8

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{5 \cdot \frac{125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.9

اجمع $5$ و $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.1

اضرب $5$ في $125$ .

$125 \frac{\frac{625 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11.2

اطرح $1$ من $625$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $5$ في $1$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 - 1}$

خطوة 5.5.2

اطرح $1$ من $5$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{4}$

خطوة 5.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$125 (\frac{624}{125} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 5.7

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أخرِج العامل $4$ من $624$ .

$125 (\frac{4 (156)}{125} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 5.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$125 (\frac{4 \cdot 156}{125} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 5.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$125 (\frac{156}{125})$

خطوة 5.8

ألغِ العامل المشترك لـ $125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$125 (\frac{156}{125})$

خطوة 5.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$156$