حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{11} 2^{i - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{i}$ و $a_{i + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $2^{i + 1 - 1}$ و $2^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $2^{i - 1}$ من $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.1.2.4

اقسِم $2^{i + 0 - (i - 1)}$ على $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

خطوة 2.2.2

أضف $i$ و $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

خطوة 2.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 2^{i - i - - 1}$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

خطوة 2.2.4

اطرح $i$ من $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

خطوة 2.2.5

أضف $0$ و $1$ .

$r = 2^{1}$

خطوة 2.2.6

احسِب قيمة الأُس.

$r = 2$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $i$ في $2^{i - 1}$ .

$a = 2^{1 - 1}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = 2^{0}$

خطوة 3.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 1$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$1 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$ في $1$ .

$\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $11$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 5.2.2

اضرب $- 1$ في $2048$ .

$\frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 5.2.3

اطرح $2048$ من $1$ .

$\frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

خطوة 5.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2047}{1 - 2}$

خطوة 5.3.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{- 2047}{- 1}$

خطوة 5.4

اقسِم $- 2047$ على $- 1$ .

$2047$