حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1$

خطوة 1

قسّم المجموع لتجعل قيمة البداية لـ $k$ تساوي $1$ .

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 - \sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$

خطوة 2

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + \sum_{k = 1}^{9} 1$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{9} k^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 2.2.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

خطوة 2.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

خطوة 2.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

خطوة 2.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

خطوة 2.2.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

خطوة 2.2.3.2.2

أضف $9$ و $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

خطوة 2.2.3.2.3

اضرب $3$ في $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

خطوة 2.2.3.2.4

أضف $18$ و $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

خطوة 2.2.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.1

اضرب $30$ في $19$ .

$\frac{570}{2}$

خطوة 2.2.3.3.2

اقسِم $570$ على $2$ .

$285$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{9} 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 2.3.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(1) (9)$

خطوة 2.3.3

اضرب $9$ في $1$ .

$9$

خطوة 2.4

أضف نتائج المجاميع.

$285 + 9$

خطوة 2.5

أضف $285$ و $9$ .

$294$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وسّع السلسلة لكل قيمة من قيم $k$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 1$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 1$

خطوة 3.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$2 + 2^{2} + 1$

خطوة 3.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$2 + 4 + 1$

خطوة 3.2.4

أضف $4$ و $1$ .

$2 + 5$

خطوة 3.2.5

أضف $2$ و $5$ .

$7$

خطوة 4

استبدِل المجاميع بالقيم التي تم إيجادها.

$294 - 7$

خطوة 5

اطرح $7$ من $294$ .

$287$