حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 27}$ في صورة ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 27$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

خطوة 1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

خطوة 1.10

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

خطوة 1.11

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

خطوة 1.11.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 1.11.3

اجمع $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.2

أضف $9$ و $27$ .

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

خطوة 3.6

احسِب قيمة الأُس.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

خطوة 4

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

خطوة 4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (3) = \frac{1}{2}$