حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (r) = {(2 r)}^{\frac{2}{3}}$ , $r = 5$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 r$ .

$\frac{d}{d r} [{(2 (r))}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (r)$ .

$\frac{d}{d r} [2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.2

بما أن $2^{\frac{2}{3}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1})$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 3}{3}})$

خطوة 1.7.2

اطرح $3$ من $2$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{- 1}{3}})$

خطوة 1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{- \frac{1}{3}})$

خطوة 1.9

اجمع $\frac{2}{3}$ و $r^{- \frac{1}{3}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 1.10

اجمع $2^{\frac{2}{3}}$ و $\frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}} (2 r^{- \frac{1}{3}})}{3}$

خطوة 1.11

اضرب $2^{\frac{2}{3}}$ في $2$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

انقُل $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 1.11.2

اضرب $2$ في $2^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 1.11.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2^{1 + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 1.11.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 1.11.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2^{\frac{3 + 2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 1.11.5

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 1.12

انقُل $r^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 r^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2

استبدِل المتغير $r$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 {(5)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3

احذِف الأقواس.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$