حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 4 y^{2} = 25$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد على $25$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{4 y^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

خطوة 1.2

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{\frac{25}{4}} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 5$

$b = \frac{5}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(0, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{25 - {(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$\sqrt{25 - \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 5.3.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{25}{2^{2}}}$

خطوة 5.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{25}{4}}$

خطوة 5.3.5

لكتابة $25$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{25 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}}$

خطوة 5.3.6

اجمع $25$ و $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}}$

خطوة 5.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 4 - 25}{4}}$

خطوة 5.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.1

اضرب $25$ في $4$ .

$\sqrt{\frac{100 - 25}{4}}$

خطوة 5.3.8.2

اطرح $25$ من $100$ .

$\sqrt{\frac{75}{4}}$

خطوة 5.3.9

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{75}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.1

أعِد كتابة $75$ بالصيغة $5^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.1.1

أخرِج العامل $25$ من $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.10.1.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.10.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.11

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.11.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 5.3.11.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 + 5, 0)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(5, 0)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 - (5), 0)$

خطوة 6.6

بسّط.

$(- 5, 0)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

خطوة 7.3

بسّط.

$(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

خطوة 7.4

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع ناقص بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 - (\frac{5 \sqrt{3}}{2}), 0)$

خطوة 7.6

بسّط.

$(- \frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

خطوة 7.7

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}}}{5}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - {(\frac{5}{2})}^{2}}}{5}$

خطوة 8.3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{5^{2}}{2^{2}}}}{5}$

خطوة 8.3.1.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{25}{2^{2}}}}{5}$

خطوة 8.3.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{25}{4}}}{5}$

خطوة 8.3.1.5

لكتابة $25$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}}}{5}$

خطوة 8.3.1.6

اجمع $25$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}}}{5}$

خطوة 8.3.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 4 - 25}{4}}}{5}$

خطوة 8.3.1.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.8.1

اضرب $25$ في $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{100 - 25}{4}}}{5}$

خطوة 8.3.1.8.2

اطرح $25$ من $100$ .

$\frac{\sqrt{\frac{75}{4}}}{5}$

خطوة 8.3.1.9

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{75}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}}{5}$

خطوة 8.3.1.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.10.1

أعِد كتابة $75$ بالصيغة $5^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.10.1.1

أخرِج العامل $25$ من $75$ .

$\frac{\frac{\sqrt{25 (3)}}{\sqrt{4}}}{5}$

خطوة 8.3.1.10.1.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}}{5}$

خطوة 8.3.1.10.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{5}$

خطوة 8.3.1.11

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.11.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}{5}$

خطوة 8.3.1.11.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{2}}{5}$

خطوة 8.3.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{5 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{5}$

خطوة 8.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{5 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{1}{5}$

خطوة 8.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{5}$

خطوة 8.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 10