حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 8$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $2 x^{2} + 12 x - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 2$

$b = 12$

$c = - 8$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (2)}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{6}{2}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$d = 3$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 8 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$e = - 8 - \frac{144}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $2$ .

$e = - 8 - \frac{144}{8}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3

اقسِم $144$ على $8$ .

$e = - 8 - 1 \cdot 18$

خطوة 1.1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $18$ .

$e = - 8 - 18$

خطوة 1.1.1.4.2.2

اطرح $18$ من $- 8$ .

$e = - 26$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $2 {(x + 3)}^{2} - 26$ .

$2 {(x + 3)}^{2} - 26$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = 2 {(x + 3)}^{2} - 26$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = 2$

$h = - 3$

$k = - 26$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- 3, - 26)$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.5.3

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{8}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 3, - \frac{207}{8})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = - 3$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - \frac{209}{8}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(- 3, - 26)$

البؤرة: $(- 3, - \frac{207}{8})$

محور التناظر: $x = - 3$

الدليل: $y = - \frac{209}{8}$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(- 3, - 26)$

البؤرة: $(- 3, - \frac{207}{8})$

محور التناظر: $x = - 3$

الدليل: $y = - \frac{209}{8}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) - 8$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f (- 4) = 2 \cdot 16 + 12 (- 4) - 8$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $16$ .

$f (- 4) = 32 + 12 (- 4) - 8$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $12$ في $- 4$ .

$f (- 4) = 32 - 48 - 8$

خطوة 2.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اطرح $48$ من $32$ .

$f (- 4) = - 16 - 8$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $8$ من $- 16$ .

$f (- 4) = - 24$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 24$ .

$- 24$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = - 4$ تساوي $- 24$ .

$y = - 24$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{2} + 12 (- 5) - 8$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$f (- 5) = 2 \cdot 25 + 12 (- 5) - 8$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $2$ في $25$ .

$f (- 5) = 50 + 12 (- 5) - 8$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $12$ في $- 5$ .

$f (- 5) = 50 - 60 - 8$

خطوة 2.5.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $60$ من $50$ .

$f (- 5) = - 10 - 8$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $8$ من $- 10$ .

$f (- 5) = - 18$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي $- 18$ .

$- 18$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = - 5$ تساوي $- 18$ .

$y = - 18$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) - 8$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 + 12 (- 2) - 8$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f (- 2) = 8 + 12 (- 2) - 8$

خطوة 2.8.1.3

اضرب $12$ في $- 2$ .

$f (- 2) = 8 - 24 - 8$

خطوة 2.8.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

اطرح $24$ من $8$ .

$f (- 2) = - 16 - 8$

خطوة 2.8.2.2

اطرح $8$ من $- 16$ .

$f (- 2) = - 24$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي $- 24$ .

$- 24$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = - 2$ تساوي $- 24$ .

$y = - 24$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) - 8$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 12 (- 1) - 8$

خطوة 2.11.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- 1) = 2 + 12 (- 1) - 8$

خطوة 2.11.1.3

اضرب $12$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 12 - 8$

خطوة 2.11.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

اطرح $12$ من $2$ .

$f (- 1) = - 10 - 8$

خطوة 2.11.2.2

اطرح $8$ من $- 10$ .

$f (- 1) = - 18$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي $- 18$ .

$- 18$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $- 18$ .

$y = - 18$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 18 \\ - 4 & - 24 \\ - 3 & - 26 \\ - 2 & - 24 \\ - 1 & - 18 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(- 3, - 26)$

البؤرة: $(- 3, - \frac{207}{8})$

محور التناظر: $x = - 3$

الدليل: $y = - \frac{209}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 18 \\ - 4 & - 24 \\ - 3 & - 26 \\ - 2 & - 24 \\ - 1 & - 18 \end{array}$

خطوة 4