حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{10 \ln (x - 1)}{x}$

خطوة 1

أوجِد خطوط التقارب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ غير معرّفة.

$x = 0, x = 1$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $1$ من جهة اليسار و $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $1$ من جهة اليمين، إذن $x = 1$ خط تقارب رأسي.

$x = 1$

خطوة 1.3

متجاهلاً اللوغاريتم، ضَع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 1.4

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

خطوة 1.5

بما أن $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

$y = 0$

خطوة 1.6

لا توجد خطوط تقارب مائلة للدوال اللوغاريتمية والمثلثية.

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 1.7

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = 1$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 0$

خطوط التقارب الرأسية: $x = 1$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 0$

خطوة 2

أوجِد النقطة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{10 \ln ((2) - 1)}{2}$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $10 \ln ((2) - 1)$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2}$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2 (1)}$

خطوة 2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) - 1)}{1}$

خطوة 2.2.1.2.4

اقسِم $5 \ln ((2) - 1)$ على $1$ .

$f (2) = 5 \ln ((2) - 1)$

خطوة 2.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$f (2) = 5 \ln (1)$

خطوة 2.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (2) = 5 \cdot 0$

خطوة 2.2.4

اضرب $5$ في $0$ .

$f (2) = 0$

خطوة 2.2.5

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 2.3

حوّل $0$ إلى رقم عشري.

$y = 0$

خطوة 3

أوجِد النقطة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = \frac{10 \ln ((3) - 1)}{3}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $10 \ln (3 - 1)$ بنقل $10$ داخل اللوغاريتم.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 - 1)}^{10})}{3}$

خطوة 3.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $1$ من $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{10})}{3}$

خطوة 3.2.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $10$ .

$f (3) = \frac{\ln (1024)}{3}$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{\ln (1024)}{3}$ بالصيغة $\frac{1}{3} \ln (1024)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (1024)$

خطوة 3.2.4

بسّط $\frac{1}{3} \ln (1024)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$f (3) = \ln (1024^{\frac{1}{3}})$

خطوة 3.2.5

الإجابة النهائية هي $\ln (1024^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (1024^{\frac{1}{3}})$

خطوة 3.3

حوّل $\ln (1024^{\frac{1}{3}})$ إلى رقم عشري.

$y = 2.3104906$

خطوة 4

أوجِد النقطة في $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = \frac{10 \ln ((4) - 1)}{4}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $10 \ln ((4) - 1)$ .

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{4}$

خطوة 4.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{2 (2)}$

خطوة 4.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (4) = \frac{5 \ln ((4) - 1)}{2}$

خطوة 4.2.2

بسّط $5 \ln (4 - 1)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$f (4) = \frac{\ln ({(4 - 1)}^{5})}{2}$

خطوة 4.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $1$ من $4$ .

$f (4) = \frac{\ln (3^{5})}{2}$

خطوة 4.2.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $5$ .

$f (4) = \frac{\ln (243)}{2}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $\frac{\ln (243)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (243)$ .

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot \ln (243)$

خطوة 4.2.5

بسّط $\frac{1}{2} \ln (243)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$f (4) = \ln (243^{\frac{1}{2}})$

خطوة 4.2.6

الإجابة النهائية هي $\ln (243^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (243^{\frac{1}{2}})$

خطوة 4.3

حوّل $\ln (243^{\frac{1}{2}})$ إلى رقم عشري.

$y = 2.74653072$

خطوة 5

يمكن تمثيل دالة اللوغاريتم بيانيًا باستخدام خط التقارب الرأسي عند $x = 1$ والنقاط $(2, 0), (3, 2.3104906), (4, 2.74653072)$ .

خط التقارب الرأسي: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 0 \\ 3 & 2.31 \\ 4 & 2.747 \end{array}$

خطوة 6