حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1 + x}{1 - x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 + x$ و $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

اضرب $1 - x$ في $1$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.10.2

اضرب $1 + x$ في $1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.12

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.1

اضرب $1 + x$ في $1$ .

$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.12.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.12.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.12.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.4.1

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.12.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$

خطوة 2.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ بالصيغة ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

خطوة 2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

خطوة 2.1.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = - x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x + 1$ .

$2 (- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- 4 ({(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.3.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

خطوة 2.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أضف $- 1$ و $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

خطوة 2.3.7.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$4 {(- x + 1)}^{- 3}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

خطوة 2.4.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

خطوة 3.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ بالصيغة ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

خطوة 3.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

خطوة 3.1.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 3}$ و $g (x) = - x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$4 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x + 1$ .

$4 (- 3 {(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- 3$ في $4$ .

$- 12 ({(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.3.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + 0)$

خطوة 3.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

أضف $- 1$ و $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} \cdot - 1$

خطوة 3.3.7.2

اضرب $- 1$ في $- 12$ .

$12 {(- x + 1)}^{- 4}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4.2

اجمع $12$ و $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$

خطوة 4.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ بالصيغة ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}]$

خطوة 4.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{4 \cdot - 1}]$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 4}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 4}$ و $g (x) = - x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x + 1$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 4$ .

$12 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x + 1$ .

$12 (- 4 {(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 4$ في $12$ .

$- 48 ({(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.3.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + 0)$

خطوة 4.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

أضف $- 1$ و $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} \cdot - 1$

خطوة 4.3.7.2

اضرب $- 1$ في $- 48$ .

$48 {(- x + 1)}^{- 5}$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 \frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$

خطوة 4.4.2

اجمع $48$ و $\frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{48}{{(- x + 1)}^{5}}$