حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = 8 y^{2} - 32 y - 35$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $8 y^{2} - 32 y - 35$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 8$

$b = - 32$

$c = - 35$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 8}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 32$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (8)}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 16}{8}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $8$ من $- 16$ .

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 (1)}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 35 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 8}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ارفع $- 32$ إلى القوة $2$ .

$e = - 35 - \frac{1024}{4 \cdot 8}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $8$ .

$e = - 35 - \frac{1024}{32}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3

اقسِم $1024$ على $32$ .

$e = - 35 - 1 \cdot 32$

خطوة 1.1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $32$ .

$e = - 35 - 32$

خطوة 1.1.1.4.2.2

اطرح $32$ من $- 35$ .

$e = - 67$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $8 {(y - 2)}^{2} - 67$ .

$8 {(y - 2)}^{2} - 67$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $x$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$x = 8 {(y - 2)}^{2} - 67$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $x = a {(y - k)}^{2} + h$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = 8$

$h = - 67$

$k = 2$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح على اليمين.

مفتوح على اليمين

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- 67, 2)$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot 8}$

خطوة 1.5.3

اضرب $4$ في $8$ .

$\frac{1}{32}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي السيني $h$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا على اليسار أو على اليمين.

$(h + p, k)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- \frac{2143}{32}, 2)$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$y = 2$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الرأسي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي السيني $h$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح على اليسار أو على اليمين.

$x = h - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $h$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$x = - \frac{2145}{32}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح على اليمين

الرأس: $(- 67, 2)$

البؤرة: $(- \frac{2143}{32}, 2)$

محور التناظر: $y = 2$

الدليل: $x = - \frac{2145}{32}$

الاتجاه: مفتوح على اليمين

الرأس: $(- 67, 2)$

البؤرة: $(- \frac{2143}{32}, 2)$

محور التناظر: $y = 2$

الدليل: $x = - \frac{2145}{32}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 66$ في $f (x) = \frac{8 + \sqrt{2 (67 + x)}}{4}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 66, 2.35355339)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 66$ في العبارة.

$f (- 66) = \frac{8 + \sqrt{2 (67 - 66)}}{4}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 66) = \frac{8 + \sqrt{2 (67 - 66)}}{4}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

اطرح $66$ من $67$ .

$f (- 66) = \frac{8 + \sqrt{2 \cdot 1}}{4}$

خطوة 2.1.2.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- 66) = \frac{8 + \sqrt{2}}{4}$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{8 + \sqrt{2}}{4}$ .

$y = \frac{8 + \sqrt{2}}{4}$

خطوة 2.1.3

حوّل $\frac{8 + \sqrt{2}}{4}$ إلى رقم عشري.

$= 2.35355339$

خطوة 2.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 66$ في $f (x) = \frac{8 - \sqrt{2 (67 + x)}}{4}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 66, 1.6464466)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 66$ في العبارة.

$f (- 66) = \frac{8 - \sqrt{2 (67 - 66)}}{4}$

خطوة 2.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 66) = \frac{8 - \sqrt{2 (67 - 66)}}{4}$

خطوة 2.2.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اطرح $66$ من $67$ .

$f (- 66) = \frac{8 - \sqrt{2 \cdot 1}}{4}$

خطوة 2.2.2.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- 66) = \frac{8 - \sqrt{2}}{4}$

خطوة 2.2.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{8 - \sqrt{2}}{4}$ .

$y = \frac{8 - \sqrt{2}}{4}$

خطوة 2.2.3

حوّل $\frac{8 - \sqrt{2}}{4}$ إلى رقم عشري.

$= 1.6464466$

خطوة 2.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 65$ في $f (x) = \frac{8 + \sqrt{2 (67 + x)}}{4}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 65, 2.5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 65$ في العبارة.

$f (- 65) = \frac{8 + \sqrt{2 (67 - 65)}}{4}$

خطوة 2.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 65) = \frac{8 + \sqrt{2 (67 - 65)}}{4}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

اطرح $65$ من $67$ .

$f (- 65) = \frac{8 + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (- 65) = \frac{8 + \sqrt{4}}{4}$

خطوة 2.3.2.2.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- 65) = \frac{8 + \sqrt{2^{2}}}{4}$

خطوة 2.3.2.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 65) = \frac{8 + 2}{4}$

خطوة 2.3.2.2.5

أضف $8$ و $2$ .

$f (- 65) = \frac{10}{4}$

خطوة 2.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f (- 65) = \frac{2 (5)}{4}$

خطوة 2.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- 65) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 65) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 65) = \frac{5}{2}$

خطوة 2.3.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

خطوة 2.3.3

حوّل $\frac{5}{2}$ إلى رقم عشري.

$= 2.5$

خطوة 2.4

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 65$ في $f (x) = \frac{8 - \sqrt{2 (67 + x)}}{4}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 65, 1.5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 65$ في العبارة.

$f (- 65) = \frac{8 - \sqrt{2 (67 - 65)}}{4}$

خطوة 2.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 65) = \frac{8 - \sqrt{2 (67 - 65)}}{4}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اطرح $65$ من $67$ .

$f (- 65) = \frac{8 - \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

خطوة 2.4.2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (- 65) = \frac{8 - \sqrt{4}}{4}$

خطوة 2.4.2.2.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- 65) = \frac{8 - \sqrt{2^{2}}}{4}$

خطوة 2.4.2.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 65) = \frac{8 - 1 \cdot 2}{4}$

خطوة 2.4.2.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- 65) = \frac{8 - 2}{4}$

خطوة 2.4.2.2.6

اطرح $2$ من $8$ .

$f (- 65) = \frac{6}{4}$

خطوة 2.4.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (- 65) = \frac{2 (3)}{4}$

خطوة 2.4.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- 65) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 65) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.4.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 65) = \frac{3}{2}$

خطوة 2.4.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

خطوة 2.4.3

حوّل $\frac{3}{2}$ إلى رقم عشري.

$= 1.5$

خطوة 2.5

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 67 & 2 \\ - 66 & 2.35 \\ - 66 & 1.65 \\ - 65 & 2.5 \\ - 65 & 1.5 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح على اليمين

الرأس: $(- 67, 2)$

البؤرة: $(- \frac{2143}{32}, 2)$

محور التناظر: $y = 2$

الدليل: $x = - \frac{2145}{32}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 67 & 2 \\ - 66 & 2.35 \\ - 66 & 1.65 \\ - 65 & 2.5 \\ - 65 & 1.5 \end{array}$

خطوة 4