حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (\sqrt{x})$

خطوة 1

أوجِد نطاق

$y = \ln (\sqrt{x})$ بحيث يمكن انتقاء قائمة قيم

$x$ لإيجاد قائمة النقاط، والتي ستساعد في رسم الدالة الجذرية بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في

$\ln (\sqrt{x})$ بحيث تصبح أكبر من

$0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\sqrt{x} > 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لحذف الجذر في الطرف الأيسر للمتباينة، ربّع كلا طرفي المتباينة.

${\sqrt{x}}^{2} > 0^{2}$

خطوة 1.2.2

بسّط كل طرف من طرفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{x}$ في صورة

$x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

بسّط

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

اضرب الأُسس في

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} > 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

بسّط.

$x > 0^{2}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$x > 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد نطاق

$\sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عيّن قيمة المجذور في

$\sqrt{x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي

$0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x \geq 0$

خطوة 1.2.3.2

النطاق هو جميع قيم

$x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[0, \infty)$

خطوة 1.2.4

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x > 0$

خطوة 1.3

عيّن قيمة المجذور في

$\sqrt{x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي

$0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x \geq 0$

خطوة 1.4

النطاق هو جميع قيم

$x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x > 0}$

ترميز الفترة:

$(0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x > 0}$

خطوة 2

لإيجاد نقطة نهاية العبارة الجذرية، عوّض بقيمة

$x$ التي تساوي

$0$ ، وهي أدنى قيمة في النطاق، في

$f (x) = \ln (\sqrt{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$0$ في العبارة.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

خطوة 2.2

احذِف الأقواس.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

خطوة 2.3

أعِد كتابة

$0$ بالصيغة

$0^{2}$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

خطوة 2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (0) = \ln (0)$

خطوة 2.5

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

$f (0) = Undefined$

غير معرّف

خطوة 3

نقطة نهاية العبارة الجذرية هي

$(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

خطوة 4

حدد بضع قيم

$x$ من النطاق. سيكون من المفيد أكثر تحديد القيم بحيث تكون مجاورة لقيمة

$x$ لنقطة نهاية العبارة الجذرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة

$x$ التي تساوي

$1$ في

$f (x) = \ln (\sqrt{x})$ . في هذه الحالة، النقطة هي

$(1, 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$1$ في العبارة.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

احذِف الأقواس.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

خطوة 4.1.2.2

أي جذر لـ

$1$ هو

$1$ .

$f (1) = \ln (1)$

خطوة 4.1.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ

$1$ يساوي

$0$ .

$f (1) = 0$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي

$0$ .

$y = 0$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة

$x$ التي تساوي

$2$ في

$f (x) = \ln (\sqrt{x})$ . في هذه الحالة، النقطة هي

$(2, \ln (\sqrt{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$2$ في العبارة.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

خطوة 4.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

احذِف الأقواس.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

خطوة 4.2.2.2

الإجابة النهائية هي

$\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

خطوة 4.3

يمكن تمثيل الجذر التربيعي بيانيًا باستخدام النقاط الواقعة حول الرأس

$(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.35 \end{array}$

خطوة 5