حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$

خطوة 2

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

خطوة 2.5.2

أضف $6 x^{2} + 6 x - 12$ و $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

خطوة 3.1.1.2

أخرِج العامل $6$ من $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

خطوة 3.1.1.3

أخرِج العامل $6$ من $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

خطوة 3.1.1.4

أخرِج العامل $6$ من $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

خطوة 3.1.1.5

أخرِج العامل $6$ من $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

خطوة 3.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

حلّل $x^{2} + x - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2$

خطوة 3.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

خطوة 3.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 3.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 3.4.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 2$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ عند $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 2$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 2$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 2$

خطوة 4.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 2$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1 + 2$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 + 2$

خطوة 4.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $2$ و $3$ .

$f (1) = 5 - 12 + 2$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $12$ من $5$ .

$f (1) = - 7 + 2$

خطوة 4.2.2.3

أضف $- 7$ و $2$ .

$f (1) = - 5$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 5$ .

$- 5$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ عند $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 2$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 2$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $2$ في $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 2$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 2$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $3$ في $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2 + 2$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $- 12$ في $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 2$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $- 16$ و $12$ .

$f (- 2) = - 4 + 24 + 2$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 4$ و $24$ .

$f (- 2) = 20 + 2$

خطوة 5.2.2.3

أضف $20$ و $2$ .

$f (- 2) = 22$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $22$ .

$22$

خطوة 6

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ هي $y = - 5, y = 22$ .

$y = - 5, y = 22$

خطوة 7