حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$

خطوة 1

اكتب $- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $4$ في $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $28$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $28 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $28$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 60$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 60 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 60 (2 x)$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $2$ في $- 60$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 84 x^{2} - 120 x$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 120 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $3$ في $- 12$ .

$- 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [84 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $84$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $84 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $84 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 36 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 36 x^{2} + 84 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $2$ في $84$ .

$- 36 x^{2} + 168 x + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

خطوة 2.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن $- 120$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 120 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 \cdot 1$

خطوة 2.2.4.3

اضرب $- 120$ في $1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 168 x - 120$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 36 x^{2} + 168 x - 120$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 36 x^{2} + 168 x - 120 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $- 12$ من $- 36 x^{2} + 168 x - 120$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $- 12$ من $- 36 x^{2}$ .

$- 12 (3 x^{2}) + 168 x - 120 = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $- 12$ من $168 x$ .

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x) - 120 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $- 12$ من $- 120$ .

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x) - 12 \cdot 10 = 0$

خطوة 3.2.4

أخرِج العامل $- 12$ من $- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x)$ .

$- 12 (3 x^{2} - 14 x) - 12 \cdot 10 = 0$

خطوة 3.2.5

أخرِج العامل $- 12$ من $- 12 (3 x^{2} - 14 x) - 12 (10)$ .

$- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$ على $- 12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$ على $- 12$ .

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $3 x^{2} - 14 x + 10$ على $1$ .

$3 x^{2} - 14 x + 10 = \frac{0}{- 12}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $0$ على $- 12$ .

$3 x^{2} - 14 x + 10 = 0$

خطوة 3.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.5

عوّض بقيم $a = 3$ و $b = - 14$ و $c = 10$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 10)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

ارفع $- 14$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.2.2

اضرب $- 12$ في $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.3

اطرح $120$ من $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.4

أعِد كتابة $76$ بالصيغة $2^{2} \cdot 19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $76$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

خطوة 3.6.3

بسّط $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

خطوة 3.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

ارفع $- 14$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.2.2

اضرب $- 12$ في $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.3

اطرح $120$ من $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.4

أعِد كتابة $76$ بالصيغة $2^{2} \cdot 19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $76$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

خطوة 3.7.3

بسّط $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

خطوة 3.7.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{7 + \sqrt{19}}{3}$

خطوة 3.8

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

ارفع $- 14$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.2.2

اضرب $- 12$ في $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.3

اطرح $120$ من $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.4

أعِد كتابة $76$ بالصيغة $2^{2} \cdot 19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $76$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

خطوة 3.8.3

بسّط $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

خطوة 3.8.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$

خطوة 3.9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{7 + \sqrt{19}}{3}, \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $3.78629964$ في $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.78629964$ في العبارة.

$f (3.78629964) = - 3 {(3.78629964)}^{4} + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ارفع $3.78629964$ إلى القوة $4$ .

$f (3.78629964) = - 3 \cdot 205.52276035 + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 3$ في $205.52276035$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.3

ارفع $3.78629964$ إلى القوة $3$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 28 \cdot 54.28063794 - 60 {(3.78629964)}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $28$ في $54.28063794$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 60 {(3.78629964)}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.5

ارفع $3.78629964$ إلى القوة $2$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 60 \cdot 14.33606502$

خطوة 4.1.2.1.6

اضرب $- 60$ في $14.33606502$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 860.16390139$

خطوة 4.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $- 616.56828105$ و $1519.85786257$ .

$f (3.78629964) = 903.28958152 - 860.16390139$

خطوة 4.1.2.2.2

اطرح $860.16390139$ من $903.28958152$ .

$f (3.78629964) = 43.12568012$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $43.12568012$ .

$43.12568012$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $3.78629964$ في $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ هي $(3.78629964, 43.12568012)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(3.78629964, 43.12568012)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $0.88036701$ في $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.88036701$ في العبارة.

$f (0.88036701) = - 3 {(0.88036701)}^{4} + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $0.88036701$ إلى القوة $4$ .

$f (0.88036701) = - 3 \cdot 0.60069643 + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $- 3$ في $0.60069643$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $0.88036701$ إلى القوة $3$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 28 \cdot 0.68232501 - 60 {(0.88036701)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $28$ في $0.68232501$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 60 {(0.88036701)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.5

ارفع $0.88036701$ إلى القوة $2$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 60 \cdot 0.77504608$

خطوة 4.3.2.1.6

اضرب $- 60$ في $0.77504608$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 46.50276526$

خطوة 4.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أضف $- 1.80208931$ و $19.10510038$ .

$f (0.88036701) = 17.30301107 - 46.50276526$

خطوة 4.3.2.2.2

اطرح $46.50276526$ من $17.30301107$ .

$f (0.88036701) = - 29.19975419$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 29.19975419$ .

$- 29.19975419$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0.88036701$ في $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ هي $(0.88036701, - 29.19975419)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0.88036701, - 29.19975419)$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(3.78629964, 43.12568012), (0.88036701, - 29.19975419)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0.88036701) \cup (0.88036701, 3.78629964) \cup (3.78629964, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0.88036701)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.78036701$ في العبارة.

$f'' (0.78036701) = - 36 {(0.78036701)}^{2} + 168 (0.78036701) - 120$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $0.78036701$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.78036701) = - 36 \cdot 0.60897268 + 168 (0.78036701) - 120$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 36$ في $0.60897268$ .

$f'' (0.78036701) = - 21.92301662 + 168 (0.78036701) - 120$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $168$ في $0.78036701$ .

$f'' (0.78036701) = - 21.92301662 + 131.10165916 - 120$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 21.92301662$ و $131.10165916$ .

$f'' (0.78036701) = 109.17864253 - 120$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $120$ من $109.17864253$ .

$f'' (0.78036701) = - 10.82135746$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 10.82135746$ .

$- 10.82135746$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.78036701$ يساوي $- 10.82135746$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0.88036701)$

تناقص خلال $(- \infty, 0.88036701)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0.88036701, 3.78629964)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.33333333$ في العبارة.

$f'' (2.33333333) = - 36 {(2.33333333)}^{2} + 168 (2.33333333) - 120$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2.33333333$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.33333333) = - 36 \cdot 5.\overline{4} + 168 (2.33333333) - 120$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 36$ في $5.\overline{4}$ .

$f'' (2.33333333) = - 196 + 168 (2.33333333) - 120$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $168$ في $2.33333333$ .

$f'' (2.33333333) = - 196 + 392 - 120$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $- 196$ و $392$ .

$f'' (2.33333333) = 196 - 120$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $120$ من $196$ .

$f'' (2.33333333) = 76$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $76$ .

$76$

خطوة 7.3

في $2.33333333$ ، المشتق الثاني هو $76$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0.88036701, 3.78629964)$ .

تزايد خلال $(0.88036701, 3.78629964)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(3.78629964, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.88629964$ في العبارة.

$f'' (3.88629964) = - 36 {(3.88629964)}^{2} + 168 (3.88629964) - 120$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $3.88629964$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3.88629964) = - 36 \cdot 15.10332495 + 168 (3.88629964) - 120$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 36$ في $15.10332495$ .

$f'' (3.88629964) = - 543.7196983 + 168 (3.88629964) - 120$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $168$ في $3.88629964$ .

$f'' (3.88629964) = - 543.7196983 + 652.89834083 - 120$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $- 543.7196983$ و $652.89834083$ .

$f'' (3.88629964) = 109.17864253 - 120$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $120$ من $109.17864253$ .

$f'' (3.88629964) = - 10.82135746$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 10.82135746$ .

$- 10.82135746$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $3.88629964$ يساوي $- 10.82135746$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(3.78629964, \infty)$

تناقص خلال $(3.78629964, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(0.88036701, - 29.19975419), (3.78629964, 43.12568012)$ .

$(0.88036701, - 29.19975419), (3.78629964, 43.12568012)$

خطوة 10