حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{3 x} \ln (2 x^{2} - 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{3 x}$ و $g (x) = \ln (2 x^{2} - 2)$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{2} - 2)] + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 x^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x^{2} - 2$ .

$e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{3 x} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x^{2} - 2$ .

$e^{3 x} (\frac{1}{2 x^{2} - 2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2 x^{2} - 2}$ و $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2] + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x + 0) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أضف $4 x$ و $0$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.7.2

اجمع $4$ و $\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2}$ .

$\frac{4 e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} x + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.7.3

اجمع $\frac{4 e^{3 x}}{2 x^{2} - 2}$ و $x$ .

$\frac{4 e^{3 x} x}{2 x^{2} - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.7.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2 x^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 e^{3 x} x$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 x^{2} - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.7.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2}) - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.7.4.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2}) + 2 (- 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.7.4.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2} - 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.7.4.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2} - 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 3.7.4.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

خطوة 5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} \cdot 3)$

خطوة 5.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (3 \cdot e^{3 x})$

خطوة 6

لكتابة $\ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \frac{\ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 e^{3 x} x + 3 \ln (2 x^{2} - 2) e^{3 x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.1.1.2

بسّط $3 \ln (2 x^{2} - 2)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} \cdot - 1}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.1.1.4

انقُل $- 1$ إلى يسار $\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - 1 \cdot (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.1.1.5

أعِد كتابة $- 1 (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})$ بالصيغة $- (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})$ .

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}$ .

$\frac{2 x e^{3 x} + x^{2} e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) - e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3})}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 e^{3 x} x + e^{3 x} x^{2} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) - e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3})}{x^{2} - 1}$