حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.1.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} 2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.1.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{\tan (2 lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.1.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{\tan (2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.1.5

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.1.6

احسِب قيمة حد $\tan (2 x)$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{\tan (2 x) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.3.2

اطرح $\tan (2 x)$ من $\tan (2 x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = \tan (h)$ و $g (h) = 2 (x + h)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.1.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $2 (x + h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $2 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.4

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.6

أضف $0$ و $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.7

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \cdot 2 + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.8

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (2 (x + h))$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- \tan (2 x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $- \tan (2 x)$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.5.2

أضف $2 \sec^{2} (2 x + 2 h)$ و $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.5.3

أعِد كتابة $\sec (2 x + 2 h)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{h \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.5.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.5.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.5.6

اجمع $2$ و $\frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{1}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)} \cdot 1$

خطوة 1.5

اضرب $\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$2 lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

خطوة 2.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

خطوة 2.4

انقُل الأُس $2$ من $\cos^{2} (2 x + 2 h)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$2 \frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (2 x + 2 h))}^{2}}$

خطوة 2.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + 2 h)}$

خطوة 2.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

خطوة 2.7

احسِب قيمة حد $2 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

خطوة 2.8

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}$

خطوة 3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$ .

$2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$

خطوة 4.3

حوّل من $\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)}$ إلى $\sec (2 x + 2 \cdot 0)$ .

$2 \sec^{2} (2 x + 2 \cdot 0)$

خطوة 4.4

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \sec^{2} (2 x + 0)$

خطوة 4.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$