حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ بالصيغة $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ بنقل $\tan (2 x)$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

خطوة 2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

خطوة 3

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

خطوة 4

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ عند اقتراب $x$ من $\frac{π}{4}$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.68539816 & - 0.99327506 \\ 0.77539816 & - 0.99993332 \\ 0.78439816 & - 0.99999933 \end{array}$

خطوة 5

عند اقتراب قيم $x$ من $\frac{π}{4}$ ، تقترب قيم الدالة من $- 1$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ عند اقتراب $x$ من $\frac{π}{4}$ من جهة اليسار تساوي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

خطوة 7

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ عند اقتراب $x$ من $\frac{π}{4}$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.88539816 & - 0.99327506 \\ 0.79539816 & - 0.99993332 \\ 0.78639816 & - 0.99999933 \end{array}$

خطوة 8

عند اقتراب قيم $x$ من $\frac{π}{4}$ ، تقترب قيم الدالة من $- 1$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ عند اقتراب $x$ من $\frac{π}{4}$ من جهة اليمين تساوي $- 1$ .

$e^{- 1}$

خطوة 9

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{e}$

الصيغة العشرية:

$0.36787944 \dots$