حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)}$ بالصيغة $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})$ بنقل $\cot (x)$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

خطوة 2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

خطوة 3

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$

خطوة 4

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x)) \\ - 0.1 & 4.91697664 \\ - 0.01 & 4.08095239 \\ - 0.001 & 4.00800935 \\ - 0.0001 & 4.00080009 \\ - 0.00001 & 4.00008 \\ - 0.000001 & 4.000008 \end{array}$

خطوة 5

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $4$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار تساوي $4$ .

$4$

خطوة 6

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$

خطوة 7

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x)) \\ 0.1 & 3.27788185 \\ 0.01 & 3.92091504 \\ 0.001 & 3.99200931 \\ 0.0001 & 3.99920009 \\ 0.00001 & 3.99992 \\ 0.000001 & 3.99999199 \end{array}$

خطوة 8

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $4$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين تساوي $4$ .

$e^{4}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e^{4}$

الصيغة العشرية:

$54.59815003 \dots$