حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{2 x}$

خطوة 1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} - x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.4.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.5.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.5.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.5.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - x + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \cos (x)}{1}$

خطوة 2.4

اقسِم $2 x - 1 + \cos (x)$ على $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 x - 1 + \cos (x)$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

خطوة 3.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

خطوة 3.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1 + \cos (lim_{x \to 0} x))$

خطوة 4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + \cos (lim_{x \to 0} x))$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + \cos (0))$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1 + \cos (0))$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 + \cos (0))$

خطوة 5.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 + 1)$

خطوة 5.2

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{1}{2} (- 1 + 1)$

خطوة 5.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

خطوة 5.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$0$