حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $θ$ من $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $θ$ من $0$ .

$\frac{\frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $θ$ من $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.1.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $θ$ من $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.1.5

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $θ$ من $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.1.6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.1.7

احسِب قيمة حد $\frac{1}{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $θ$ من $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (0)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + 0} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.3.3

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.2.3.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

خطوة 1.1.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2 + \sin (θ)}$ بالصيغة ${(2 + \sin (θ))}^{- 1}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [{(2 + \sin (θ))}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = θ^{- 1}$ و $g (θ) = 2 + \sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + \sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $θ$ هو $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.3.5

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.3.6

أضف $0$ و $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، فإن مشتق $- \frac{1}{2}$ بالنسبة إلى $θ$ هو $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

اجمع $\cos (θ)$ و $\frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.5.2.2

أضف $- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ و $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 1.3.6

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\cos (θ)}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

خطوة 1.5

اضرب $\frac{1}{\cos (θ)}$ في $\frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

خطوة 1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{θ \to 0} - \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $θ$ .

$- lim_{θ \to 0} \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $θ$ من $0$ .

$- \frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

خطوة 2.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $θ$ من $0$ .

$- \frac{1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

خطوة 2.4

انقُل الأُس $2$ من ${(2 + \sin (θ))}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ))}^{2}}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $θ$ من $0$ .

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $θ$ من $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

خطوة 2.7

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ))}^{2}}$

خطوة 3

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + \sin (0))}^{2}}$

خطوة 4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + 0)}^{2}}$

خطوة 4.2

أضف $2$ و $0$ .

$- \frac{1}{2^{2}}$

خطوة 4.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{1}{4}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{4}$

الصيغة العشرية:

$- 0.25$