حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

خطوة 1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

خطوة 2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

خطوة 3

انقُل الحد $π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

خطوة 4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

خطوة 6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $8$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

خطوة 6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $8$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $π$ و $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

خطوة 7.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{8})$ هي $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $\frac{π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

خطوة 7.2.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة المماس.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

خطوة 7.2.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة المماس موجبة في الربع الأول.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

خطوة 7.2.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

خطوة 7.2.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

خطوة 7.2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

خطوة 7.2.4.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

خطوة 7.2.4.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

خطوة 7.2.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

خطوة 7.2.4.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

خطوة 7.2.4.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

خطوة 7.2.4.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

خطوة 7.2.4.9

اضرب $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ في $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

خطوة 7.2.4.10

اضرب $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ في $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

خطوة 7.2.4.11

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

خطوة 7.2.4.12

بسّط.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.13

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.14

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.14.1

ألغِ العامل المشترك.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.14.2

أعِد كتابة العبارة.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.15

اجمع $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.16

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.16.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.2

اضرب $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.16.2.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.2.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.16.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.16.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.16.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.3.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.4

احذِف العامل المشترك لـ $2 \sqrt{2} - 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.16.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

خطوة 7.2.4.16.4.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.16.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

خطوة 7.2.4.16.4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

خطوة 7.2.4.16.4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

خطوة 7.2.4.16.4.4.4

اقسِم $\sqrt{2} - 1$ على $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

خطوة 7.2.4.16.5

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

خطوة 7.2.4.16.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

خطوة 7.2.4.17

أضف $2$ و $1$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.18

اطرح $\sqrt{2}$ من $- \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

الصيغة العشرية:

$3.31370849 \dots$