حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} (y^{2} - 4) = x^{2} (x^{2} - 5)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 4)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 5))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y^{2}$ و $g (x) = y^{2} - 4$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.6

أضف $2 y y'$ و $0$ .

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.7

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

انقُل $y$ .

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.7.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.7.3

أضف $1$ و $2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.9

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2} - 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 4) y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.10

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 4) y y'$

خطوة 2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 4) y y'$

خطوة 2.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 4 y) y'$

خطوة 2.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 4 y y'$

خطوة 2.11.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.4.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 4 y y'$

خطوة 2.11.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

خطوة 2.11.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

خطوة 2.11.4.4

اضرب $2$ في $- 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

خطوة 2.11.4.5

أضف $y^{3} (2 y')$ و $2 y^{3} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.4.5.1

أعِد ترتيب $y^{3}$ و $2$ .

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

خطوة 2.11.4.5.2

أضف $2 \cdot y^{3} y'$ و $2 y^{3} y'$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} - 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x^{3} + (x^{2} - 5) (2 x)$

خطوة 3.6

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 5$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 5) x$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 5) x$

خطوة 3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 5 x$

خطوة 3.7.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 5 x$

خطوة 3.7.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 5 x$

خطوة 3.7.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 5 x$

خطوة 3.7.3.4

اضرب $2$ في $- 5$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 10 x$

خطوة 3.7.3.5

أضف $2 x^{3}$ و $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 10 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $4 y y'$ من $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 10 x$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ على $4 y (y^{2} - 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ على $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

خطوة 5.2.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

خطوة 5.2.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$