حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 16}}{2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 4

انقُل الحد $9$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 5

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $16$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 8

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 9

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

خطوة 10

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

خطوة 11

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

خطوة 12

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

خطوة 13

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $8$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

خطوة 13.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $8$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

خطوة 14

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 64 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

خطوة 14.1.2

اضرب $9$ في $64$ .

$\frac{\sqrt{576 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

خطوة 14.1.3

أضف $576$ و $16$ .

$\frac{\sqrt{592}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

خطوة 14.1.4

أعِد كتابة $592$ بالصيغة $4^{2} \cdot 37$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $592$ .

$\frac{\sqrt{16 (37)}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

خطوة 14.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

خطوة 14.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

خطوة 14.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{512 + 1}}$

خطوة 14.2.2

أضف $512$ و $1$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{513}}$

خطوة 14.2.3

أعِد كتابة $513$ بالصيغة $3^{2} \cdot 57$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.3.1

أخرِج العامل $9$ من $513$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{9 (57)}}$

خطوة 14.2.3.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{3^{2} \cdot 57}}$

خطوة 14.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$

خطوة 14.3

اضرب $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ في $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$

خطوة 14.4

اضرب $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ في $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{(2 + 3 \sqrt{57}) (2 - 3 \sqrt{57})}$

خطوة 14.5

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{4 - 6 \sqrt{57} + 6 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

خطوة 14.6

بسّط.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{- 509}$

خطوة 14.7

جمّع $2 - 3 \sqrt{57}$ و $\sqrt{37}$ معًا.

$\frac{4 ((2 - 3 \sqrt{57}) \sqrt{37})}{- 509}$

خطوة 14.8

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{57} \sqrt{37})}{- 509}$

خطوة 14.9

اضرب $- 3 \sqrt{57} \sqrt{37}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.9.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{37 \cdot 57})}{- 509}$

خطوة 14.9.2

اضرب $37$ في $57$ .

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{- 509}$

خطوة 14.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

الصيغة العشرية:

$0.98708074 \dots$