حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} θ}$

خطوة 1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} θ}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{1}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم $\cos (θ)$ على $1$ .

$lim_{θ \to 0} \cos (θ)$

خطوة 4.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\cos (lim_{θ \to 0} θ)$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $0$ .

$\cos (0)$

خطوة 6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$1$