حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.6.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{8 - 2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.7.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.7.1.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{8 - 4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.7.1.4

اضرب $- 4$ في $2$ .

$\frac{8 - 4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.7.2

اطرح $4$ من $8$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.7.3

اطرح $8$ من $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.2.7.4

أضف $- 4$ و $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 12}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 12}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 12}$

خطوة 1.1.3.4

انقُل الحد $8$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 12}$

خطوة 1.1.3.5

احسِب قيمة حد $12$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 12}$

خطوة 1.1.3.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{0}{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 12}$

خطوة 1.1.3.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{0}{2^{3} - 2^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 12}$

خطوة 1.1.3.6.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{0}{2^{3} - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12}$

خطوة 1.1.3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{0}{8 - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12}$

خطوة 1.1.3.7.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 12}$

خطوة 1.1.3.7.1.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{0}{8 - 4 - 8 \cdot 2 + 12}$

خطوة 1.1.3.7.1.4

اضرب $- 8$ في $2$ .

$\frac{0}{8 - 4 - 16 + 12}$

خطوة 1.1.3.7.2

اطرح $4$ من $8$ .

$\frac{0}{4 - 16 + 12}$

خطوة 1.1.3.7.3

اطرح $16$ من $4$ .

$\frac{0}{- 12 + 12}$

خطوة 1.1.3.7.4

أضف $- 12$ و $12$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.7.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.8

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.5.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.7

أضف $3 x^{2} - 2 x - 4$ و $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

خطوة 1.3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

خطوة 1.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

خطوة 1.3.10

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

خطوة 1.3.10.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

خطوة 1.3.10.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

خطوة 1.3.11

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.11.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}$

خطوة 1.3.11.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}$

خطوة 1.3.11.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [12]}$

خطوة 1.3.12

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 + 0}$

خطوة 1.3.13

أضف $3 x^{2} - 2 x - 8$ و $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8}$

خطوة 2

بما أن الدالة تقترب بمقدار $- \infty$ من جهة اليسار وبمقدار $\infty$ من جهة اليمين، إذن لا توجد نهاية.

$لا يوجد$