حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

خطوة 1

اكتب $4 x^{3} - 9 x^{4}$ في صورة دالة.

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 9 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $4$ في $- 9$ .

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

خطوة 2.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $3$ في $- 36$ .

$- 108 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 108 x^{2} + 12 (2 x)$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $2$ في $12$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 24 x$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 108 x^{2} + 24 x$ .

$- 108 x^{2} + 24 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 108 x^{2} + 24 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 108 x^{2} + 24 x = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $- 12 x$ من $- 108 x^{2} + 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $- 12 x$ من $- 108 x^{2}$ .

$- 12 x (9 x) + 24 x = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $- 12 x$ من $24 x$ .

$- 12 x (9 x) - 12 x \cdot - 2 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $- 12 x$ من $- 12 x (9 x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (9 x - 2) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$9 x - 2 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $9 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $9 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 x - 2 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $9 x - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x = 2$

خطوة 3.5.2.2

اقسِم كل حد في $9 x = 2$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $9 x = 2$ على $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

خطوة 3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

خطوة 3.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2}{9}$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 12 x (9 x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{2}{9}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$f (0) = 0 - 9 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $- 9$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $\frac{2}{9}$ في $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2}{9}$ في العبارة.

$f (\frac{2}{9}) = 4 {(\frac{2}{9})}^{3} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{2^{3}}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $9$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{729}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $4 (\frac{8}{729})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

اجمع $4$ و $\frac{8}{729}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{4 \cdot 8}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.4.2

اضرب $4$ في $8$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{2^{4}}{9^{4}}$

خطوة 4.3.2.1.6

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{16}{9^{4}}$

خطوة 4.3.2.1.7

ارفع $9$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 (\frac{16}{6561})$

خطوة 4.3.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.8.1

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 (- 1) (\frac{16}{6561})$

خطوة 4.3.2.1.8.2

أخرِج العامل $9$ من $6561$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

خطوة 4.3.2.1.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

خطوة 4.3.2.1.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 1 (\frac{16}{729})$

خطوة 4.3.2.1.9

أعِد كتابة $- 1 (\frac{16}{729})$ بالصيغة $- (\frac{16}{729})$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - \frac{16}{729}$

خطوة 4.3.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32 - 16}{729}$

خطوة 4.3.2.2.2

اطرح $16$ من $32$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{16}{729}$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{16}{729}$ .

$\frac{16}{729}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{2}{9}$ في $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ هي $(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = - 108 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 108 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 108$ في $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 + 24 (- 0.1)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $24$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 - 2.4$

خطوة 6.2.2

اطرح $2.4$ من $- 1.08$ .

$f'' (- 0.1) = - 3.48$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3.48$ .

$- 3.48$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 3.48$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0)$

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{2}{9})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.\overline{1}$ في العبارة.

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 {(0.\overline{1})}^{2} + 24 (0.\overline{1})$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.\overline{1}$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 \cdot 0.01234567 + 24 (0.\overline{1})$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 108$ في $0.01234567$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 24 (0.\overline{1})$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $24$ في $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 2.\overline{6}$

خطوة 7.2.2

أضف $- 1.33333333$ و $2.\overline{6}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = 1.33333333$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $1.33333333$ .

$1.33333333$

خطوة 7.3

في $0.\overline{1}$ ، المشتق الثاني هو $1.33333333$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \frac{2}{9})$ .

تزايد خلال $(0, \frac{2}{9})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{2}{9}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.3\overline{2}$ في العبارة.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 {(0.3\overline{2})}^{2} + 24 (0.3\overline{2})$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.3\overline{2}$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 \cdot 0.10382716 + 24 (0.3\overline{2})$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 108$ في $0.10382716$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 24 (0.3\overline{2})$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $24$ في $0.3\overline{2}$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 7.73333333$

خطوة 8.2.2

أضف $- 11.21333333$ و $7.73333333$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 3.48$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3.48$ .

$- 3.48$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $0.3\overline{2}$ يساوي $- 3.48$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{2}{9}, \infty)$

تناقص خلال $(\frac{2}{9}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

خطوة 10