حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} - 1}{4^{x} - 1}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 4^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

خطوة 1.1.2.1.2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{4^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

خطوة 1.1.2.1.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

خطوة 1.1.2.1.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{4^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{4^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{4^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

خطوة 1.1.2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

خطوة 1.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 1.1.3.1.2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{0}{4^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 1.1.3.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{4^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{4^{0} - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

خطوة 1.1.3.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} - 1}{4^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4^{2 x} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = 4^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.3.5

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{2 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.3.6

اضرب الأُسس في ${(2^{2})}^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2^{2 (2 x)} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.3.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2^{4 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4) + 0}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.5

أضف $2^{1 + 4 x} \ln (4)$ و $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4^{x} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 1.3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4) + 0}$

خطوة 1.3.9

أضف $4^{x} \ln (4)$ و $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4)}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4)}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x}}{4^{x}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{1 + 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

خطوة 2.2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 1 + 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{2^{1 + lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

خطوة 2.5

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2^{1 + 4 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

خطوة 2.6

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{2^{1 + 4 lim_{x \to 0} x}}{4^{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{2^{1 + 4 \cdot 0}}{4^{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{2^{1 + 4 \cdot 0}}{4^{0}}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{2^{1 + 0}}{4^{0}}$

خطوة 4.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2^{1}}{4^{0}}$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{2}{4^{0}}$

خطوة 4.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{2}{1}$

خطوة 4.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$