حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

$\frac{1}{\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

$1 \frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

خطوة 3

اضرب $\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}}$ في $1$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 9 + e^{x}$ و $g (x) = 9 - e^{x}$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) \frac{d}{d x} [9 + e^{x}] - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 - e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} + 1 (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.5.2

اضرب $9 + e^{x}$ في $1$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 9

اضرب $\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}}$ في $\frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{{(9 - e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{(9 - e^{x}) ((9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x})}{(9 + e^{x}) {(9 - e^{x})}^{2}}$

خطوة 10

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أخرِج العامل $9 - e^{x}$ من $(9 + e^{x}) {(9 - e^{x})}^{2}$ .

$\frac{(9 - e^{x}) ((9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x})}{(9 - e^{x}) ((9 + e^{x}) (9 - e^{x}))}$

خطوة 10.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(9 - e^{x}) ((9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x})}{(9 - e^{x}) ((9 + e^{x}) (9 - e^{x}))}$

خطوة 10.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 e^{x} - e^{x} e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 e^{x} - e^{x} e^{x} + 9 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

خطوة 11.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $9 e^{x} - e^{x} e^{x} + 9 e^{x} + e^{x} e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.1

أضف $- e^{x} e^{x}$ و $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{9 e^{x} + 9 e^{x} + 0}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

خطوة 11.3.1.2

أضف $9 e^{x} + 9 e^{x}$ و $0$ .

$\frac{9 e^{x} + 9 e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

خطوة 11.3.2

أضف $9 e^{x}$ و $9 e^{x}$ .

$\frac{18 e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$