حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 48 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.4.3

اضرب $2$ في $- 48$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $- 144$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 144 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.5.3

اضرب $- 144$ في $1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بما أن $288$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $288$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

خطوة 1.6.2

أضف $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ و $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [- 144]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 96$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 96 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 144)$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 144)$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 96$ في $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + \frac{d}{d x} (- 144)$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $- 144$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 144$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + 0$

خطوة 2.5.2

أضف $36 x^{2} + 24 x - 96$ و $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $- 48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 48 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.4.3

اضرب $2$ في $- 48$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

بما أن $- 144$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 144 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.5.3

اضرب $- 144$ في $1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

خطوة 4.1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

بما أن $288$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $288$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

خطوة 4.1.6.2

أضف $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ و $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

خطوة 5.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $12$ من $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $12$ من $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

خطوة 5.2.1.2

أخرِج العامل $12$ من $12 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) - 96 x - 144 = 0$

خطوة 5.2.1.3

أخرِج العامل $12$ من $- 96 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) - 144 = 0$

خطوة 5.2.1.4

أخرِج العامل $12$ من $- 144$ .

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

خطوة 5.2.1.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (x^{3}) + 12 x^{2}$ .

$12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

خطوة 5.2.1.6

أخرِج العامل $12$ من $12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

خطوة 5.2.1.7

أخرِج العامل $12$ من $12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12$ .

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12) = 0$

خطوة 5.2.2

حلّل $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 5.2.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

خطوة 5.2.2.3

عوّض بـ $- 2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

عوّض بـ $- 2$ في متعدد الحدود.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

خطوة 5.2.2.3.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

خطوة 5.2.2.3.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

خطوة 5.2.2.3.4

أضف $- 8$ و $4$ .

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

خطوة 5.2.2.3.5

اضرب $- 8$ في $- 2$ .

$- 4 + 16 - 12$

خطوة 5.2.2.3.6

أضف $- 4$ و $16$ .

$12 - 12$

خطوة 5.2.2.3.7

اطرح $12$ من $12$ .

$0$

خطوة 5.2.2.4

بما أن $- 2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

خطوة 5.2.2.5

اقسِم $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ على $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

خطوة 5.2.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

خطوة 5.2.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

خطوة 5.2.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

خطوة 5.2.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

خطوة 5.2.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

خطوة 5.2.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

خطوة 5.2.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

خطوة 5.2.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

خطوة 5.2.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

خطوة 5.2.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

خطوة 5.2.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

خطوة 5.2.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

خطوة 5.2.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 x - 12$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

خطوة 5.2.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

خطوة 5.2.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - x - 6$

خطوة 5.2.2.6

اكتب $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ في صورة مجموعة من العوامل.

$12 ((x + 2) (x^{2} - x - 6)) = 0$

خطوة 5.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

حلّل $x^{2} - x - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

حلّل $x^{2} - x - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 6$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 3, 2$

خطوة 5.2.3.1.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$12 ((x + 2) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

خطوة 5.2.3.1.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$12 ((x + 2) (x - 3) (x + 2)) = 0$

خطوة 5.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$12 (x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

خطوة 5.2.4

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ارفع $x + 2$ إلى القوة $1$ .

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

خطوة 5.2.4.2

ارفع $x + 2$ إلى القوة $1$ .

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

خطوة 5.2.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$12 {(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

خطوة 5.2.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$

خطوة 5.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 5.4

عيّن قيمة العبارة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عيّن قيمة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

خطوة 5.4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 5.4.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 5.5

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 5.5.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 5.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = - 2, 3$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - 2, 3$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$36 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 96$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$36 \cdot 4 + 24 (- 2) - 96$

خطوة 9.1.2

اضرب $36$ في $4$ .

$144 + 24 (- 2) - 96$

خطوة 9.1.3

اضرب $24$ في $- 2$ .

$144 - 48 - 96$

خطوة 9.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $48$ من $144$ .

$96 - 96$

خطوة 9.2.2

اطرح $96$ من $96$ .

$0$

خطوة 10

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 10.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 4$ ، من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الأول $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

خطوة 10.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

خطوة 10.2.2.1.2

اضرب $12$ في $- 64$ .

$f' (- 4) = - 768 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

خطوة 10.2.2.1.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4) = - 768 + 12 \cdot 16 - 96 \cdot - 4 - 144$

خطوة 10.2.2.1.4

اضرب $12$ في $16$ .

$f' (- 4) = - 768 + 192 - 96 \cdot - 4 - 144$

خطوة 10.2.2.1.5

اضرب $- 96$ في $- 4$ .

$f' (- 4) = - 768 + 192 + 384 - 144$

خطوة 10.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

أضف $- 768$ و $192$ .

$f' (- 4) = - 576 + 384 - 144$

خطوة 10.2.2.2.2

أضف $- 576$ و $384$ .

$f' (- 4) = - 192 - 144$

خطوة 10.2.2.2.3

اطرح $144$ من $- 192$ .

$f' (- 4) = - 336$

خطوة 10.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 336$ .

$- 336$

خطوة 10.3

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- 2, 3)$ في المشتق الأول $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

خطوة 10.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 12 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

خطوة 10.3.2.1.2

اضرب $12$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

خطوة 10.3.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 - 96 \cdot 0 - 144$

خطوة 10.3.2.1.4

اضرب $12$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 96 \cdot 0 - 144$

خطوة 10.3.2.1.5

اضرب $- 96$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 144$

خطوة 10.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 144$

خطوة 10.3.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f' (0) = 0 - 144$

خطوة 10.3.2.2.3

اطرح $144$ من $0$ .

$f' (0) = - 144$

خطوة 10.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 144$ .

$- 144$

خطوة 10.4

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الأول $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

خطوة 10.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$f' (6) = 12 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

خطوة 10.4.2.1.2

اضرب $12$ في $216$ .

$f' (6) = 2592 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

خطوة 10.4.2.1.3

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f' (6) = 2592 + 12 \cdot 36 - 96 \cdot 6 - 144$

خطوة 10.4.2.1.4

اضرب $12$ في $36$ .

$f' (6) = 2592 + 432 - 96 \cdot 6 - 144$

خطوة 10.4.2.1.5

اضرب $- 96$ في $6$ .

$f' (6) = 2592 + 432 - 576 - 144$

خطوة 10.4.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.2.1

أضف $2592$ و $432$ .

$f' (6) = 3024 - 576 - 144$

خطوة 10.4.2.2.2

اطرح $576$ من $3024$ .

$f' (6) = 2448 - 144$

خطوة 10.4.2.2.3

اطرح $144$ من $2448$ .

$f' (6) = 2304$

خطوة 10.4.2.3

الإجابة النهائية هي $2304$ .

$2304$

خطوة 10.5

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = - 2$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 10.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 3$ ، إذن $x = 3$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 3$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11