حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $11 x^{\frac{2}{11}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$ .

$2 + 11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1})$

خطوة 1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

خطوة 1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

خطوة 1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 1 \cdot 11}{11}})$

خطوة 1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $11$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 11}{11}})$

خطوة 1.3.6.2

اطرح $11$ من $2$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{- 9}{11}})$

خطوة 1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{- \frac{9}{11}})$

خطوة 1.3.8

اجمع $\frac{2}{11}$ و $x^{- \frac{9}{11}}$ .

$2 + 11 \frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

خطوة 1.3.9

اجمع $11$ و $\frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$ .

$2 + \frac{11 (2 x^{- \frac{9}{11}})}{11}$

خطوة 1.3.10

اضرب $2$ في $11$ .

$2 + \frac{22 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

خطوة 1.3.11

انقُل $x^{- \frac{9}{11}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{22}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 1.3.12

أخرِج العامل $11$ من $22$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 1.3.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.13.1

أخرِج العامل $11$ من $11 x^{\frac{9}{11}}$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 (x^{\frac{9}{11}})}$

خطوة 1.3.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 1.3.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}})$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{11}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{9}{11}}})$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{9}{11}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{9}{11}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{9}{11}})}^{- 1})$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{9}{11}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{9}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{9}{11}}))$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{11}})$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{9}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{9}{11}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{11}})$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{9}{11}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{9}{11}})}^{- 2} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

خطوة 2.2.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{9}{11}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{9}{11} \cdot - 2} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $\frac{9}{11} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

اجمع $\frac{9}{11}$ و $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{9 \cdot - 2}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

خطوة 2.2.5.2.2

اضرب $9$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

خطوة 2.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

خطوة 2.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{11}{11}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}}))$

خطوة 2.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{11}{11}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}}))$

خطوة 2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9 - 1 \cdot 11}{11}}))$

خطوة 2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1

اضرب $- 1$ في $11$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9 - 11}{11}}))$

خطوة 2.2.9.2

اطرح $11$ من $9$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{- 2}{11}}))$

خطوة 2.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{- \frac{2}{11}}))$

خطوة 2.2.11

اجمع $\frac{9}{11}$ و $x^{- \frac{2}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} \frac{9 x^{- \frac{2}{11}}}{11})$

خطوة 2.2.12

اجمع $\frac{9 x^{- \frac{2}{11}}}{11}$ و $x^{- \frac{18}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{- \frac{2}{11}} x^{- \frac{18}{11}}}{11})$

خطوة 2.2.13

اضرب $x^{- \frac{2}{11}}$ في $x^{- \frac{18}{11}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.1

انقُل $x^{- \frac{18}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 (x^{- \frac{18}{11}} x^{- \frac{2}{11}})}{11})$

خطوة 2.2.13.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{- \frac{18}{11} - \frac{2}{11}}}{11})$

خطوة 2.2.13.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{\frac{- 18 - 2}{11}}}{11})$

خطوة 2.2.13.4

اطرح $2$ من $- 18$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{\frac{- 20}{11}}}{11})$

خطوة 2.2.13.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{- \frac{20}{11}}}{11})$

خطوة 2.2.14

انقُل $x^{- \frac{20}{11}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9}{11 x^{\frac{20}{11}}})$

خطوة 2.2.15

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{9}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

خطوة 2.2.16

اجمع $- 2$ و $\frac{9}{11 x^{\frac{20}{11}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2 \cdot 9}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

خطوة 2.2.17

اضرب $- 2$ في $9$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

خطوة 2.2.18

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 - \frac{18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

خطوة 2.3

اطرح $\frac{18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$ من $0$ .

$f'' (x) = - \frac{18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $11 x^{\frac{2}{11}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$ .

$2 + 11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1})$

خطوة 4.1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

خطوة 4.1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

خطوة 4.1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 1 \cdot 11}{11}})$

خطوة 4.1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $11$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 11}{11}})$

خطوة 4.1.3.6.2

اطرح $11$ من $2$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{- 9}{11}})$

خطوة 4.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{- \frac{9}{11}})$

خطوة 4.1.3.8

اجمع $\frac{2}{11}$ و $x^{- \frac{9}{11}}$ .

$2 + 11 \frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

خطوة 4.1.3.9

اجمع $11$ و $\frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$ .

$2 + \frac{11 (2 x^{- \frac{9}{11}})}{11}$

خطوة 4.1.3.10

اضرب $2$ في $11$ .

$2 + \frac{22 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

خطوة 4.1.3.11

انقُل $x^{- \frac{9}{11}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{22}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 4.1.3.12

أخرِج العامل $11$ من $22$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 4.1.3.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.13.1

أخرِج العامل $11$ من $11 x^{\frac{9}{11}}$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 (x^{\frac{9}{11}})}$

خطوة 4.1.3.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 4.1.3.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = 0$

خطوة 5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = - 2$

خطوة 5.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x^{\frac{9}{11}}, 1$

خطوة 5.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x^{\frac{9}{11}}$

خطوة 5.4

اضرب كل حد في $\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = - 2$ في $x^{\frac{9}{11}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب كل حد في $\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = - 2$ في $x^{\frac{9}{11}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} x^{\frac{9}{11}} = - 2 x^{\frac{9}{11}}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{9}{11}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} x^{\frac{9}{11}} = - 2 x^{\frac{9}{11}}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 = - 2 x^{\frac{9}{11}}$

خطوة 5.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$ .

$- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{9}{11}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x^{\frac{9}{11}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

خطوة 5.5.2.2.2

اقسِم $x^{\frac{9}{11}}$ على $1$ .

$x^{\frac{9}{11}} = \frac{2}{- 2}$

خطوة 5.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

اقسِم $2$ على $- 2$ .

$x^{\frac{9}{11}} = - 1$

خطوة 5.5.3

ارفع كل متعادل إلى القوة $\frac{11}{9}$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(x^{\frac{9}{11}})}^{\frac{11}{9}} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

خطوة 5.5.4

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.1

بسّط ${(x^{\frac{9}{11}})}^{\frac{11}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{9}{11}})}^{\frac{11}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9}} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

خطوة 5.5.4.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9}} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

خطوة 5.5.4.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

خطوة 5.5.4.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

خطوة 5.5.4.1.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

خطوة 5.5.4.1.1.2

بسّط.

$x = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

خطوة 5.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1

بسّط ${(- 1)}^{\frac{11}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{9}$ .

$x = {({(- 1)}^{9})}^{\frac{11}{9}}$

خطوة 5.5.4.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 1)}^{9 (\frac{11}{9})}$

خطوة 5.5.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = {(- 1)}^{9 (\frac{11}{9})}$

خطوة 5.5.4.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = {(- 1)}^{11}$

خطوة 5.5.4.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $11$ .

$x = - 1$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$2 + \frac{2}{\sqrt[11]{x^{9}}}$

خطوة 6.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2}{\sqrt[11]{x^{9}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sqrt[11]{x^{9}} = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ارفع كلا المتعادلين إلى القوة $11$ .

${\sqrt[11]{x^{9}}}^{11} = 0^{11}$

خطوة 6.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[11]{x^{9}}$ في صورة $x^{\frac{9}{11}}$ .

${(x^{\frac{9}{11}})}^{11} = 0^{11}$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{9}{11}})}^{11}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

خطوة 6.3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{9}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

خطوة 6.3.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{9} = 0^{11}$

خطوة 6.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$x^{9} = 0$

خطوة 6.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[9]{0}$

خطوة 6.3.3.2

بسّط $\sqrt[9]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{9}$ .

$x = \sqrt[9]{0^{9}}$

خطوة 6.3.3.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - 1, 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{\frac{20}{11}}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{11}$ .

$- \frac{18}{11 {({(- 1)}^{11})}^{\frac{20}{11}}}$

خطوة 9.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{20}{11})}}$

خطوة 9.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{20}{11})}}$

خطوة 9.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{20}}$

خطوة 9.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $20$ .

$- \frac{18}{11 \cdot 1}$

خطوة 9.2

اضرب $11$ في $1$ .

$- \frac{18}{11}$

خطوة 10

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 2 (- 1) + 11 {(- 1)}^{\frac{2}{11}}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{\frac{2}{11}}$

خطوة 11.2.1.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{11}$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 {({(- 1)}^{11})}^{\frac{2}{11}}$

خطوة 11.2.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{11 (\frac{2}{11})}$

خطوة 11.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{11 (\frac{2}{11})}$

خطوة 11.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{2}$

خطوة 11.2.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 \cdot 1$

خطوة 11.2.1.6

اضرب $11$ في $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 11$

خطوة 11.2.2

أضف $- 2$ و $11$ .

$f (- 1) = 9$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $9$ .

$y = 9$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{18}{11 {(0)}^{\frac{20}{11}}}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{11}$ .

$- \frac{18}{11 {(0^{11})}^{\frac{20}{11}}}$

خطوة 13.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{11 \cdot 0^{11 (\frac{20}{11})}}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{18}{11 \cdot 0^{11 (\frac{20}{11})}}$

خطوة 13.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{18}{11 \cdot 0^{20}}$

خطوة 13.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{18}{11 \cdot 0}$

خطوة 13.3.2

اضرب $11$ في $0$ .

$- \frac{18}{0}$

خطوة 13.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{18}{0}$

خطوة 13.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 14

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 14.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 4$ ، من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الأول $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = 2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 14.2.2

الإجابة النهائية هي $2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{9}{11}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 14.3

عوّض بأي عدد، مثل $- 0.5$ ، من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق الأول $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.5$ في العبارة.

$f' (- 0.5) = 2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 14.3.2

الإجابة النهائية هي $2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{9}{11}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 14.4

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الأول $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 2 + \frac{2}{{(2)}^{\frac{9}{11}}}$

خطوة 14.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1.1

انقُل ${(2)}^{\frac{9}{11}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{9}{11}}$

خطوة 14.4.2.1.2

اضرب $2$ في $2^{- \frac{9}{11}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1.2.1

اضرب $2$ في $2^{- \frac{9}{11}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{9}{11}}$

خطوة 14.4.2.1.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (2) = 2 + 2^{1 - \frac{9}{11}}$

خطوة 14.4.2.1.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{11}{11} - \frac{9}{11}}$

خطوة 14.4.2.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{11 - 9}{11}}$

خطوة 14.4.2.1.2.4

اطرح $9$ من $11$ .

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{2}{11}}$

خطوة 14.4.2.2

الإجابة النهائية هي $2 + 2^{\frac{2}{11}}$ .

$2 + 2^{\frac{2}{11}}$

خطوة 14.5

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = - 1$ ، إذن $x = - 1$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 14.7

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$ .

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15