حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \cos (x - π)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x - π)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x - π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - π$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - π])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x - π])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - π$ .

$2 (- \sin (x - π) \frac{d}{d x} [x - π])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 (\sin (x - π) \frac{d}{d x} [x - π])$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - π$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 2 \sin (x - π) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (x - π) (1 + \frac{d}{d x} [- π])$

خطوة 1.3.4

بما أن $- π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 2 \sin (x - π) (1 + 0)$

خطوة 1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$- 2 \sin (x - π) \cdot 1$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \sin (x - π)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (x - π)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x - π)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x - π)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x - π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - π$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x - π))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (x - π))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - π$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x - π) \frac{d}{d x} (x - π))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - π$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (1 + \frac{d}{d x} (- π))$

خطوة 2.3.3

بما أن $- π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (1 + 0)$

خطوة 2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) \cdot 1$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 2 \sin (x - π) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x - π) = 0$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x - π) = 0$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x - π)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (x - π)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $\sin (x - π)$ على $1$ .

$\sin (x - π) = \frac{0}{- 2}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $- 2$ .

$\sin (x - π) = 0$

خطوة 5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x - π = \arcsin (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x - π = 0$

خطوة 7

أضف $π$ إلى كلا المتعادلين.

$x = π$

خطوة 8

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x - π = π - 0$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح $0$ من $π$ .

$x - π = π$

خطوة 9.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $π$ إلى كلا المتعادلين.

$x = π + π$

خطوة 9.2.2

أضف $π$ و $π$ .

$x = 2 π$

خطوة 10

حل المعادلة $x - π = 0$ .

$x = π, 2 π$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = π$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \cos ((π) - π)$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اطرح $π$ من $π$ .

$- 2 \cos (0)$

خطوة 12.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 12.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 13

$x = π$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = π$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$f (π) = 2 \cos ((π) - π)$

خطوة 14.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اطرح $π$ من $π$ .

$f (π) = 2 \cos (0)$

خطوة 14.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (π) = 2 \cdot 1$

خطوة 14.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f (π) = 2$

خطوة 14.2.4

الإجابة النهائية هي $2$ .

$y = 2$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2 π$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \cos ((2 π) - π)$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اطرح $π$ من $2 π$ .

$- 2 \cos (π)$

خطوة 16.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- 2 (- \cos (0))$

خطوة 16.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16.4

اضرب $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

خطوة 16.4.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2$

خطوة 17

$x = 2 π$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 2 π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 18

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2 π$ في العبارة.

$f (2 π) = 2 \cos ((2 π) - π)$

خطوة 18.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اطرح $π$ من $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \cos (π)$

خطوة 18.2.2

$f (2 π) = 2 (- \cos (0))$

خطوة 18.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (2 π) = 2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 18.2.4

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (2 π) = 2 \cdot - 1$

خطوة 18.2.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (2 π) = - 2$

خطوة 18.2.5

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 19

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 \cos (x - π)$ .

$(π, 2)$ هي نقطة قصوى محلية

$(2 π, - 2)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 20