حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \cos (x) + \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

خطوة 1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

خطوة 2.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 2.3.7

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 4 \sin (2 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

خطوة 4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 \sin (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 4.4

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 5

حلّل $- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 5.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- \sin (x)) + 2 (1)$ .

$2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 5.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$2 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 5.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 5.2.1.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 5.2.1.2.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 5.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 5.2.1.2.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 5.2.1.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 5.2.1.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

خطوة 5.2.1.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

خطوة 5.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

خطوة 6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $- 2 \sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $- 2 \sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin (x) = - 1$

خطوة 7.2.2

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 7.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 7.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 7.2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 7.2.6

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 7.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 7.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 7.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 7.2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

خطوة 7.2.7

حل المعادلة $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $\sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

خطوة 8.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sin (x) = - 1$

خطوة 8.2.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 8.2.4

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 8.2.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 8.2.5.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 8.2.6

حل المعادلة $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

خطوة 9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{6}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 11.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 11.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 11.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 11.1.3

أعِد كتابة $- 1 \sqrt{3}$ بالصيغة $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 11.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

خطوة 11.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

خطوة 11.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 11.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 11.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 11.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 11.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

خطوة 11.2

اطرح $2 \sqrt{3}$ من $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

خطوة 12

$x = \frac{π}{6}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{6}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 13.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 13.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

خطوة 13.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

خطوة 13.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

خطوة 13.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 13.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.2.2

لكتابة $\sqrt{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.3.1

اجمع $\sqrt{3}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.2.4.2

أضف $2 \sqrt{3}$ و $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{5 π}{6}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 15.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 15.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 15.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 15.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 15.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 15.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 15.1.5

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 15.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

خطوة 15.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

خطوة 15.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

خطوة 15.1.7

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 15.1.8

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 15.1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.9.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 15.1.9.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 15.1.9.3

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 15.1.9.4

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

خطوة 15.1.10

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 15.2

أضف $\sqrt{3}$ و $2 \sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

خطوة 16

$x = \frac{5 π}{6}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{5 π}{6}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 17

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{5 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 17.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 17.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 17.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 17.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 17.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 17.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

خطوة 17.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

خطوة 17.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

خطوة 17.2.1.5

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 17.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.2.2

لكتابة $- \sqrt{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.1

اجمع $- \sqrt{3}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.2.4.2

اطرح $\sqrt{3}$ من $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 18

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

خطوة 19

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

خطوة 19.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

خطوة 19.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

خطوة 19.1.4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

خطوة 19.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{2}$ إلى بسط الكسر.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

خطوة 19.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

خطوة 19.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 - 4 \sin (- π)$

خطوة 19.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$0 - 4 \sin (0)$

خطوة 19.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

خطوة 19.1.8

اضرب $- 4$ في $0$ .

$0 + 0$

خطوة 19.2

أضف $0$ و $0$ .

$0$

خطوة 20

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

خطوة 20.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 4$ ، من الفترة $(- \infty, - \frac{π}{2})$ في المشتق الأول $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

خطوة 20.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.2.1.1

احسِب قيمة $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

خطوة 20.2.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

خطوة 20.2.2.1.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

خطوة 20.2.2.1.4

احسِب قيمة $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

خطوة 20.2.2.1.5

اضرب $2$ في $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

خطوة 20.2.2.2

اطرح $0.29100006$ من $- 1.51360499$ .

$f' (- 4) = - 1.80460505$

خطوة 20.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.80460505$ .

$- 1.80460505$

خطوة 20.3

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ في المشتق الأول $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

خطوة 20.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.3.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

خطوة 20.3.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

خطوة 20.3.2.1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

خطوة 20.3.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

خطوة 20.3.2.1.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

خطوة 20.3.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$f' (0) = 2$

خطوة 20.3.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 20.4

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ في المشتق الأول $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

خطوة 20.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.2.1.1

احسِب قيمة $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

خطوة 20.4.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

خطوة 20.4.2.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

خطوة 20.4.2.1.4

احسِب قيمة $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

خطوة 20.4.2.1.5

اضرب $2$ في $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

خطوة 20.4.2.2

اطرح $1.30728724$ من $- 1.81859485$ .

$f' (2) = - 3.12588209$

خطوة 20.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3.12588209$ .

$- 3.12588209$

خطوة 20.5

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ في المشتق الأول $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

خطوة 20.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.5.2.1.1

احسِب قيمة $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

خطوة 20.5.2.1.2

اضرب $- 2$ في $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

خطوة 20.5.2.1.3

اضرب $2$ في $4$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

خطوة 20.5.2.1.4

احسِب قيمة $\cos (8)$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

خطوة 20.5.2.1.5

اضرب $2$ في $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

خطوة 20.5.2.2

اطرح $0.29100006$ من $1.51360499$ .

$f' (4) = 1.22260492$

خطوة 20.5.2.3

الإجابة النهائية هي $1.22260492$ .

$1.22260492$

خطوة 20.6

عوّض بأي عدد، مثل $7$ ، من الفترة $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ في المشتق الأول $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

خطوة 20.6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.6.2.1.1

احسِب قيمة $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

خطوة 20.6.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0.65698659$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

خطوة 20.6.2.1.3

اضرب $2$ في $7$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

خطوة 20.6.2.1.4

احسِب قيمة $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

خطوة 20.6.2.1.5

اضرب $2$ في $0.13673721$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

خطوة 20.6.2.2

أضف $- 1.31397319$ و $0.27347443$ .

$f' (7) = - 1.04049876$

خطوة 20.6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.04049876$ .

$- 1.04049876$

خطوة 20.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = - \frac{π}{2}$ ، إذن $x = - \frac{π}{2}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = - \frac{π}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 20.8

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = \frac{π}{6}$ ، إذن $x = \frac{π}{6}$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = \frac{π}{6}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 20.9

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{5 π}{6}$ ، إذن $x = \frac{5 π}{6}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = \frac{5 π}{6}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 20.10

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = \frac{3 π}{2}$ ، إذن $x = \frac{3 π}{2}$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 20.11

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{π}{6}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{5 π}{6}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أقصى محلي

$x = - \frac{π}{2}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{π}{6}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{5 π}{6}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 21