حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

خطوة 1.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

خطوة 2.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

خطوة 2.3.7

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 4 \cos (2 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$

خطوة 4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 5

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) = 0$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$

خطوة 6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 7.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 7.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 7.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 7.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 7.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 7.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 7.2.5

حل المعادلة $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $1 + 2 \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $1 + 2 \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 8.2

أوجِد قيمة $x$ في $1 + 2 \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \sin (x) = - 1$

خطوة 8.2.2

اقسِم كل حد في $2 \sin (x) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \sin (x) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 8.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 8.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 8.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 8.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 8.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

خطوة 8.2.5

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 8.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.6.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 8.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 8.2.7

حل المعادلة $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

خطوة 9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 \cdot 1 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

خطوة 11.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

خطوة 11.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 + 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

خطوة 11.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 + 4 \cos (π)$

خطوة 11.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- 2 + 4 (- \cos (0))$

خطوة 11.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 11.1.6

اضرب $4 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 + 4 \cdot - 1$

خطوة 11.1.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 2 - 4$

خطوة 11.2

اطرح $4$ من $- 2$ .

$- 6$

خطوة 12

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

خطوة 13.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

خطوة 13.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

خطوة 13.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (π)$

خطوة 13.2.1.4

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (0)$

خطوة 13.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - (- 1 \cdot 1)$

خطوة 13.2.1.6

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

خطوة 13.2.1.6.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

خطوة 13.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

خطوة 13.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$y = 3$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 15.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 15.1.3

اضرب $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 15.1.3.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 15.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 + 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

خطوة 15.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 + 4 \cos (3 π)$

خطوة 15.1.5

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$2 + 4 \cos (π)$

خطوة 15.1.6

$2 + 4 (- \cos (0))$

خطوة 15.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 15.1.8

اضرب $4 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.8.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 + 4 \cdot - 1$

خطوة 15.1.8.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$2 - 4$

خطوة 15.2

اطرح $4$ من $2$ .

$- 2$

خطوة 16

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 17

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 17.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 17.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 17.2.1.3

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 17.2.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 17.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 17.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (3 π)$

خطوة 17.2.1.5

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (π)$

خطوة 17.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (0)$

خطوة 17.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - (- 1 \cdot 1)$

خطوة 17.2.1.8

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.8.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

خطوة 17.2.1.8.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

خطوة 17.2.2

أضف $- 2$ و $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

خطوة 17.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 18

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{π}{6}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \sin (- \frac{π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 19

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$- 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 19.1.2

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 19.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 19.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 19.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 19.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 19.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 19.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 19.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{6})$

خطوة 19.1.6.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 (3)})$

خطوة 19.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

خطوة 19.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$1 + 4 \cos (\frac{- π}{3})$

خطوة 19.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 + 4 \cos (- \frac{π}{3})$

خطوة 19.1.8

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$1 + 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 19.1.9

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 19.1.10

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

خطوة 19.1.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.11.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

خطوة 19.1.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

خطوة 19.1.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 + 2$

خطوة 19.2

أضف $1$ و $2$ .

$3$

خطوة 20

$x = - \frac{π}{6}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{π}{6}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 21

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{6}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- \frac{π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 21.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 21.2.1.2

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 21.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 21.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 21.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 21.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

خطوة 21.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{6}))$

خطوة 21.2.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 (3)}))$

خطوة 21.2.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}))$

خطوة 21.2.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{- π}{3})$

خطوة 21.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (- \frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.7

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 21.2.1.8

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.9

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

خطوة 21.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 21.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 21.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 21.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

خطوة 21.2.5.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

خطوة 21.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

خطوة 21.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

خطوة 22

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{7 π}{6}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \sin (\frac{7 π}{6}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 23

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 23.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 23.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 23.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 23.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 23.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 23.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 23.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

خطوة 23.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

خطوة 23.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 + 4 \cos (\frac{7 π}{3})$

خطوة 23.1.6

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 23.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

خطوة 23.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.8.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

خطوة 23.1.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

خطوة 23.1.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 + 2$

خطوة 23.2

أضف $1$ و $2$ .

$3$

خطوة 24

$x = \frac{7 π}{6}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{7 π}{6}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 25

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{7 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \sin (\frac{7 π}{6}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 25.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.1.1

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 25.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 25.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 25.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 25.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

خطوة 25.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 (3)}))$

خطوة 25.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 3}))$

خطوة 25.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{7 π}{3})$

خطوة 25.2.1.5

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 25.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

خطوة 25.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 25.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 25.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 25.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

خطوة 25.2.5.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

خطوة 25.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

خطوة 25.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

خطوة 26

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 3)$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ هي نقطة قصوى محلية

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 27