حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x - \frac{32}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - \frac{32}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{32}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$2 - 32 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 - 32 (- x^{- 2})$

خطوة 1.3.4

اضرب $- 1$ في $- 32$ .

$2 + 32 x^{- 2}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 32 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.4.2

اجمع $32$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{32}{x^{2}}$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{32}{x^{2}} + 2$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{32}{x^{2}} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{32}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.9

اطرح $4$ من $1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.2.10

اضرب $- 2$ في $32$ .

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + 0$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{1}{x^{3}} + 0$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $- 64$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 64}{x^{3}} + 0$

خطوة 2.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 0$

خطوة 2.4.2.3

أضف $- \frac{64}{x^{3}}$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{32}{x^{2}} + 2 = 0$

خطوة 4

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 5

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6