حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{6}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$4 x - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 x - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

خطوة 1.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 6 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$4 x - 6 (- x^{- 4} (2 x))$

خطوة 1.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 x - 6 (- 2 x^{- 4} x)$

خطوة 1.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 x - 6 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

خطوة 1.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x - 6 (- 2 x^{1 - 4})$

خطوة 1.3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$4 x - 6 (- 2 x^{- 3})$

خطوة 1.3.10

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$4 x + 12 x^{- 3}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 12 \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 1.4.2

اجمع $12$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + \frac{12}{x^{3}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + \frac{12}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

خطوة 2.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{12}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

خطوة 2.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

خطوة 2.3.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

خطوة 2.3.7

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

خطوة 2.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{2 - 6})$

خطوة 2.3.7.3

اطرح $6$ من $2$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 4})$

خطوة 2.3.8

اضرب $- 3$ في $12$ .

$f'' (x) = 4 - 36 x^{- 4}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 - 36 \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

اجمع $- 36$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{- 36}{x^{4}}$

خطوة 2.5.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 4 - \frac{36}{x^{4}}$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = - \frac{36}{x^{4}} + 4$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$4 x + \frac{12}{x^{3}} = 0$

خطوة 4

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 5

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6