حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $6 x^{2} - 8 x$ و $0$ .

$6 x^{2} - 8 x$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} - 8 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 8 \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 8 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 8$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$6 x^{2} - 8 x = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $6 x^{2} - 8 x$ و $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{2} - 8 x$ .

$6 x^{2} - 8 x$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 x^{2} - 8 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x^{2} - 8 x = 0$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $2 x$ من $6 x^{2} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2 x$ من $6 x^{2}$ .

$2 x (3 x) - 8 x = 0$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 8 x$ .

$2 x (3 x) + 2 x (- 4) = 0$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (3 x) + 2 x (- 4)$ .

$2 x (3 x - 4) = 0$

خطوة 5.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$3 x - 4 = 0$

خطوة 5.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.5

عيّن قيمة العبارة $3 x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

عيّن قيمة $3 x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 4 = 0$

خطوة 5.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 4$

خطوة 5.5.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 4$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 4$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 5.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 5.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

خطوة 5.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (3 x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{4}{3}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, \frac{4}{3}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 (0) - 8$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $12$ في $0$ .

$0 - 8$

خطوة 9.2

اطرح $8$ من $0$ .

$- 8$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 2$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 2 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} + 2$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 2$

خطوة 11.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 2$

خطوة 11.2.1.4

اضرب $- 4$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

خطوة 11.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

خطوة 11.2.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$f (0) = 2$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$y = 2$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{4}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 (\frac{4}{3}) - 8$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$3 (4) \frac{4}{3} - 8$

خطوة 13.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot 4 \frac{4}{3} - 8$

خطوة 13.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \cdot 4 - 8$

خطوة 13.1.2

اضرب $4$ في $4$ .

$16 - 8$

خطوة 13.2

اطرح $8$ من $16$ .

$8$

خطوة 14

$x = \frac{4}{3}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{4}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{4}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{4}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{4}{3}) = 2 {(\frac{4}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

خطوة 15.2.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{64}{3^{3}}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

خطوة 15.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{64}{27}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

خطوة 15.2.1.4

اضرب $2 (\frac{64}{27})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.4.1

اجمع $2$ و $\frac{64}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{2 \cdot 64}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

خطوة 15.2.1.4.2

اضرب $2$ في $64$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

خطوة 15.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 2$

خطوة 15.2.1.6

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 \frac{16}{3^{2}} + 2$

خطوة 15.2.1.7

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 (\frac{16}{9}) + 2$

خطوة 15.2.1.8

اضرب $- 4 (\frac{16}{9})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.8.1

اجمع $- 4$ و $\frac{16}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} + \frac{- 4 \cdot 16}{9} + 2$

خطوة 15.2.1.8.2

اضرب $- 4$ في $16$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} + \frac{- 64}{9} + 2$

خطوة 15.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64}{9} + 2$

خطوة 15.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

اضرب $\frac{64}{9}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 2$

خطوة 15.2.2.2

اضرب $\frac{64}{9}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 2$

خطوة 15.2.2.3

اكتب $2$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1}$

خطوة 15.2.2.4

اضرب $\frac{2}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

خطوة 15.2.2.5

اضرب $\frac{2}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

خطوة 15.2.2.6

أعِد ترتيب عوامل $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

خطوة 15.2.2.7

اضرب $3$ في $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

خطوة 15.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 64 \cdot 3 + 2 \cdot 27}{27}$

خطوة 15.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.4.1

اضرب $- 64$ في $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 192 + 2 \cdot 27}{27}$

خطوة 15.2.4.2

اضرب $2$ في $27$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 192 + 54}{27}$

خطوة 15.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.5.1

اطرح $192$ من $128$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 64 + 54}{27}$

خطوة 15.2.5.2

أضف $- 64$ و $54$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 10}{27}$

خطوة 15.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{4}{3}) = - \frac{10}{27}$

خطوة 15.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{10}{27}$ .

$y = - \frac{10}{27}$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ .

$(0, 2)$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{4}{3}, - \frac{10}{27})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 17