حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 7 x \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 1.4.4

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

خطوة 1.5.2

اضرب $7$ في $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$7 \ln (x) + 7$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 \ln (x) + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 2.2.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 2.2.3

اجمع $7$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{7}{x}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$7 \ln (x) + 7 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 4.1.2

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 4.1.4.4

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

خطوة 4.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

خطوة 4.1.5.2

اضرب $7$ في $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

خطوة 4.1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 7 \ln (x) + 7$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $7 \ln (x) + 7$ .

$7 \ln (x) + 7$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $7 \ln (x) + 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 \ln (x) + 7 = 0$

خطوة 5.2

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$7 \ln (x) = - 7$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $7 \ln (x) = - 7$ على $7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $7 \ln (x) = - 7$ على $7$ .

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 7}{7}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم $- 7$ على $7$ .

$\ln (x) = - 1$

خطوة 5.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\ln (x) = - 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

خطوة 5.6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 6.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{1}{e}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{1}{e}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{7}{\frac{1}{e}}$

خطوة 9

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$7 e$

خطوة 10

$x = \frac{1}{e}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{1}{e}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{1}{e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{e}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{e}) = 7 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اجمع $7$ و $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

خطوة 11.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{e}$ بالصيغة $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

خطوة 11.2.3

أعِد كتابة $\ln (1 e^{- 1})$ بالصيغة $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

خطوة 11.2.4

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $- 1$ خارج الأُس.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

خطوة 11.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

خطوة 11.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

خطوة 11.2.7

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (0 - 1)$

خطوة 11.2.8

اطرح $1$ من $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot - 1$

خطوة 11.2.9

اضرب $\frac{7}{e} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.9.1

اجمع $\frac{7}{e}$ و $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7 \cdot - 1}{e}$

خطوة 11.2.9.2

اضرب $7$ في $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 7}{e}$

خطوة 11.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{7}{e}$

خطوة 11.2.11

الإجابة النهائية هي $- \frac{7}{e}$ .

$y = - \frac{7}{e}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 7 x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{7}{e})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13