حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $64 x^{3} - 12 x + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $64 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.2.3

اضرب $3$ في $64$ .

$192 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$192 x^{2} - 12 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $192 x^{2} - 12$ و $0$ .

$192 x^{2} - 12$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $192 x^{2} - 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [192 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (192 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [192 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $192$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $192 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $192 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 192 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $192$ .

$f'' (x) = 384 x + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 384 x + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $384 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 384 x$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$192 x^{2} - 12 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $64 x^{3} - 12 x + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $64 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 64 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $3$ في $64$ .

$f' (x) = 192 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $192 x^{2} - 12$ و $0$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $192 x^{2} - 12$ .

$192 x^{2} - 12$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $192 x^{2} - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$192 x^{2} - 12 = 0$

خطوة 5.2

أضف $12$ إلى كلا المتعادلين.

$192 x^{2} = 12$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $192 x^{2} = 12$ على $192$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $192 x^{2} = 12$ على $192$ .

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $192$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{192}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $192$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أخرِج العامل $12$ من $12$ .

$x^{2} = \frac{12 (1)}{192}$

خطوة 5.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $12$ من $192$ .

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

خطوة 5.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = \frac{1}{16}$

خطوة 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

خطوة 5.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{16}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

خطوة 5.5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

خطوة 5.5.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

خطوة 5.5.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm \frac{1}{4}$

خطوة 5.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{1}{4}$

خطوة 5.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{1}{4}$

خطوة 5.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{1}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$384 (\frac{1}{4})$

خطوة 9

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أخرِج العامل $4$ من $384$ .

$4 (96) \frac{1}{4}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot 96 \frac{1}{4}$

خطوة 9.3

أعِد كتابة العبارة.

$96$

خطوة 10

$x = \frac{1}{4}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{1}{4}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = 64 {(\frac{1}{4})}^{3} - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

خطوة 11.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

خطوة 11.2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

خطوة 11.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

خطوة 11.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

خطوة 11.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $- 12$ .

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 (- 3) (\frac{1}{4}) + 8$

خطوة 11.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4})) + 8$

خطوة 11.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 3 + 8$

خطوة 11.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اطرح $3$ من $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 2 + 8$

خطوة 11.2.2.2

أضف $- 2$ و $8$ .

$f (\frac{1}{4}) = 6$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$y = 6$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{1}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$384 (- \frac{1}{4})$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4}$ إلى بسط الكسر.

$384 (\frac{- 1}{4})$

خطوة 13.1.2

أخرِج العامل $4$ من $384$ .

$4 (96) \frac{- 1}{4}$

خطوة 13.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot 96 \frac{- 1}{4}$

خطوة 13.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$96 \cdot - 1$

خطوة 13.2

اضرب $96$ في $- 1$ .

$- 96$

خطوة 14

$x = - \frac{1}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{1}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{4}$ في العبارة.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 {(- \frac{1}{4})}^{3} - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

خطوة 15.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

خطوة 15.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

خطوة 15.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

خطوة 15.2.1.4

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

خطوة 15.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{64}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

خطوة 15.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

خطوة 15.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

خطوة 15.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (\frac{- 1}{4}) + 8$

خطوة 15.2.1.6.2

أخرِج العامل $4$ من $- 12$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 (- 3) (\frac{- 1}{4}) + 8$

خطوة 15.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{- 1}{4})) + 8$

خطوة 15.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 8$

خطوة 15.2.1.7

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 3 + 8$

خطوة 15.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

أضف $- 1$ و $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 2 + 8$

خطوة 15.2.2.2

أضف $2$ و $8$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

خطوة 15.2.3

الإجابة النهائية هي $10$ .

$y = 10$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$ .

$(\frac{1}{4}, 6)$ هي نقاط دنيا محلية

$(- \frac{1}{4}, 10)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 17