حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + \cos (2 x + 1)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x + 1$ .

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 1.3.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

خطوة 1.3.6

اضرب $2$ في $1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

خطوة 1.3.7

أضف $2$ و $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

خطوة 1.3.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

خطوة 2.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (2 x + 1)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

خطوة 2.2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

خطوة 2.2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

خطوة 2.2.7

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

خطوة 2.2.8

أضف $2$ و $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

خطوة 2.2.9

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

خطوة 2.2.10

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

خطوة 2.3

اطرح $4 \cos (2 x + 1)$ من $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

خطوة 4

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $\sin (2 x + 1)$ على $1$ .

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

خطوة 6

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $\frac{5}{2}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x =$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 4 \cos (2 + 1)$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أضف $2$ و $1$ .

$- 4 \cos (3)$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $\cos (3)$ .

$- 4 \cdot 0.99862953$

خطوة 8.3

اضرب $- 4$ في $0.99862953$ .

$- 3.99451813$

خطوة 9

$x =$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x =$ هي حد أقصى محلي

خطوة 10

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 11