حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $x^{4}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.3.2.2.5

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

خطوة 1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3} \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

خطوة 2.2.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

خطوة 2.2.5

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

خطوة 2.2.6.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

خطوة 2.2.6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

خطوة 2.2.6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

خطوة 2.2.6.2.5

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (\ln (x) (3 x^{2}))$

خطوة 2.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 (\ln (x) (x^{2}))$

خطوة 2.3.2.2

أضف $3 x^{2}$ و $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 \ln (x) x^{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اجمع $x^{4}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.3.2.2.5

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

خطوة 4.1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ .

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

خطوة 5.2

اطرح $x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ على $4 x^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ على $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (x) = \frac{- 1}{4}$

خطوة 5.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (x) = - \frac{1}{4}$

خطوة 5.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{4}}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\ln (x) = - \frac{1}{4}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4}} = x$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{- \frac{1}{4}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{4}}$

خطوة 5.6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 6.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$7 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$7 \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$7 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.3

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.4

اجمع $7$ و $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.7

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.8

اجمع $12$ و $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 9.1.9

انقُل $e^{\frac{1}{4}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (e^{- \frac{1}{4}})$

خطوة 9.1.10

وسّع $\ln (e^{- \frac{1}{4}})$ بنقل $- \frac{1}{4}$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4} \ln (e))$

خطوة 9.1.11

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)$

خطوة 9.1.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4})$

خطوة 9.1.13

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.13.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

خطوة 9.1.13.2

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (3)}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

خطوة 9.1.13.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 \cdot 3}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

خطوة 9.1.13.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

خطوة 9.1.14

اجمع $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ و $- 1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot - 1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.1.15

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.1.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7 - 3}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2.2

اطرح $3$ من $7$ .

$\frac{4}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{4} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1^{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 11.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 11.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 11.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 11.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 11.2.2.2

بسّط.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 11.2.3

انقُل $e^{\frac{1}{4}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{4}})$

خطوة 11.2.4

وسّع $\ln (e^{- \frac{1}{4}})$ بنقل $- \frac{1}{4}$ خارج اللوغاريتم.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

خطوة 11.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4} \cdot 1)$

خطوة 11.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4})$

خطوة 11.2.7

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = - \frac{1}{e \cdot 4}$

خطوة 11.2.8

انقُل $4$ إلى يسار $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = - \frac{1}{4 e}$

خطوة 11.2.9

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{4 e}$ .

$y = - \frac{1}{4 e}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{4} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, - \frac{1}{4 e})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13