حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(x - 12)}^{2}$ بالصيغة $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

خطوة 1.2

وسّع $(x - 12) (x - 12)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

خطوة 1.3.1.2

انقُل $- 12$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $- 12$ في $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

خطوة 1.3.2

اطرح $12 x$ من $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 24 x + 144$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.5.3

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.5.5

اضرب $- 24$ في $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.5.6

بما أن $144$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $144$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.5.7

أضف $2 x - 24$ و $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.5.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

خطوة 1.5.9

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

خطوة 1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

خطوة 1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1.1

انقُل $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.3

انقُل $- 24$ إلى يسار $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.4

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.4.1

انقُل $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.4.3

أضف $3$ و $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.5

اضرب $- 24$ في $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.6

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.6.1

انقُل $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.6.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.6.3

أضف $3$ و $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 1.6.4.7

اضرب $4$ في $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

خطوة 1.6.4.8

أضف $2 x^{5}$ و $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

خطوة 1.6.4.9

اطرح $96 x^{4}$ من $- 24 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

خطوة 2.2.3

اضرب $5$ في $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 120 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 120$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 120 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

خطوة 2.3.3

اضرب $4$ في $- 120$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $576$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $576 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $576 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 \frac{d}{d x} (x^{3})$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 (3 x^{2})$

خطوة 2.4.3

اضرب $3$ في $576$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 1728 x^{2}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة ${(x - 12)}^{2}$ بالصيغة $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

خطوة 4.1.2

وسّع $(x - 12) (x - 12)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

خطوة 4.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

خطوة 4.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

خطوة 4.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

خطوة 4.1.3.1.2

انقُل $- 12$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

خطوة 4.1.3.1.3

اضرب $- 12$ في $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

خطوة 4.1.3.2

اطرح $12 x$ من $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

خطوة 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 24 x + 144$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.5.3

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.5.5

اضرب $- 24$ في $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.5.6

بما أن $144$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $144$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.5.7

أضف $2 x - 24$ و $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.5.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

خطوة 4.1.5.9

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

خطوة 4.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

خطوة 4.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

خطوة 4.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.1.1

انقُل $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.3

انقُل $- 24$ إلى يسار $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.4

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.4.1

انقُل $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.4.3

أضف $3$ و $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.5

اضرب $- 24$ في $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.6

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.6.1

انقُل $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.6.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.6.3

أضف $3$ و $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.7

اضرب $4$ في $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.8

أضف $2 x^{5}$ و $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

خطوة 4.1.6.4.9

اطرح $96 x^{4}$ من $- 24 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

خطوة 5.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $6 x^{3}$ من $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $6 x^{3}$ من $6 x^{5}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

خطوة 5.2.1.2

أخرِج العامل $6 x^{3}$ من $- 120 x^{4}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 576 x^{3} = 0$

خطوة 5.2.1.3

أخرِج العامل $6 x^{3}$ من $576 x^{3}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

خطوة 5.2.1.4

أخرِج العامل $6 x^{3}$ من $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

خطوة 5.2.1.5

أخرِج العامل $6 x^{3}$ من $6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x + 96) = 0$

خطوة 5.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

حلّل $x^{2} - 20 x + 96$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $96$ ومجموعهما $- 20$ .

$- 12, - 8$

خطوة 5.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$6 x^{3} ((x - 12) (x - 8)) = 0$

خطوة 5.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$

خطوة 5.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 12 = 0$

$x - 8 = 0$

خطوة 5.4

عيّن قيمة العبارة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عيّن قيمة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 5.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 5.4.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 5.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 5.5

عيّن قيمة العبارة $x - 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

عيّن قيمة $x - 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 12 = 0$

خطوة 5.5.2

أضف $12$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 12$

خطوة 5.6

عيّن قيمة العبارة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

عيّن قيمة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 8 = 0$

خطوة 5.6.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 8$

خطوة 5.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 12, 8$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, 12, 8$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$30 {(0)}^{4} - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$30 \cdot 0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

خطوة 9.1.2

اضرب $30$ في $0$ .

$0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

خطوة 9.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - 480 \cdot 0 + 1728 {(0)}^{2}$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 480$ في $0$ .

$0 + 0 + 1728 {(0)}^{2}$

خطوة 9.1.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + 0 + 1728 \cdot 0$

خطوة 9.1.6

اضرب $1728$ في $0$ .

$0 + 0 + 0$

خطوة 9.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 0$

خطوة 9.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$0$

خطوة 10

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, 12) \cup (12, \infty)$

خطوة 10.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

خطوة 10.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

خطوة 10.2.2.1.2

اضرب $6$ في $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

خطوة 10.2.2.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{3}$

خطوة 10.2.2.1.4

اضرب $- 120$ في $16$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 {(- 2)}^{3}$

خطوة 10.2.2.1.5

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 \cdot - 8$

خطوة 10.2.2.1.6

اضرب $576$ في $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 - 4608$

خطوة 10.2.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

اطرح $1920$ من $- 192$ .

$f' (- 2) = - 2112 - 4608$

خطوة 10.2.2.2.2

اطرح $4608$ من $- 2112$ .

$f' (- 2) = - 6720$

خطوة 10.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6720$ .

$- 6720$

خطوة 10.3

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(0, 8)$ في المشتق الأول $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

خطوة 10.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

خطوة 10.3.2.1.2

اضرب $6$ في $1024$ .

$f' (4) = 6144 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

خطوة 10.3.2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$f' (4) = 6144 - 120 \cdot 256 + 576 {(4)}^{3}$

خطوة 10.3.2.1.4

اضرب $- 120$ في $256$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 {(4)}^{3}$

خطوة 10.3.2.1.5

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 \cdot 64$

خطوة 10.3.2.1.6

اضرب $576$ في $64$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 36864$

خطوة 10.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

اطرح $30720$ من $6144$ .

$f' (4) = - 24576 + 36864$

خطوة 10.3.2.2.2

أضف $- 24576$ و $36864$ .

$f' (4) = 12288$

خطوة 10.3.2.3

الإجابة النهائية هي $12288$ .

$12288$

خطوة 10.4

عوّض بأي عدد، مثل $10$ ، من الفترة $(8, 12)$ في المشتق الأول $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $10$ في العبارة.

$f' (10) = 6 {(10)}^{5} - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

خطوة 10.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.1

ارفع $10$ إلى القوة $5$ .

$f' (10) = 6 \cdot 100000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

خطوة 10.4.2.1.2

اضرب $6$ في $100000$ .

$f' (10) = 600000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

خطوة 10.4.2.1.3

ارفع $10$ إلى القوة $4$ .

$f' (10) = 600000 - 120 \cdot 10000 + 576 {(10)}^{3}$

خطوة 10.4.2.1.4

اضرب $- 120$ في $10000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 {(10)}^{3}$

خطوة 10.4.2.1.5

ارفع $10$ إلى القوة $3$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 \cdot 1000$

خطوة 10.4.2.1.6

اضرب $576$ في $1000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576000$

خطوة 10.4.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.2.1

اطرح $1200000$ من $600000$ .

$f' (10) = - 600000 + 576000$

خطوة 10.4.2.2.2

أضف $- 600000$ و $576000$ .

$f' (10) = - 24000$

خطوة 10.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 24000$ .

$- 24000$

خطوة 10.5

عوّض بأي عدد، مثل $14$ ، من الفترة $(12, \infty)$ في المشتق الأول $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $14$ في العبارة.

$f' (14) = 6 {(14)}^{5} - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

خطوة 10.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1.1

ارفع $14$ إلى القوة $5$ .

$f' (14) = 6 \cdot 537824 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

خطوة 10.5.2.1.2

اضرب $6$ في $537824$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

خطوة 10.5.2.1.3

ارفع $14$ إلى القوة $4$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 \cdot 38416 + 576 {(14)}^{3}$

خطوة 10.5.2.1.4

اضرب $- 120$ في $38416$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 {(14)}^{3}$

خطوة 10.5.2.1.5

ارفع $14$ إلى القوة $3$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 \cdot 2744$

خطوة 10.5.2.1.6

اضرب $576$ في $2744$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 1580544$

خطوة 10.5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

اطرح $4609920$ من $3226944$ .

$f' (14) = - 1382976 + 1580544$

خطوة 10.5.2.2.2

أضف $- 1382976$ و $1580544$ .

$f' (14) = 197568$

خطوة 10.5.2.3

الإجابة النهائية هي $197568$ .

$197568$

خطوة 10.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 10.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 8$ ، إذن $x = 8$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 8$ هي حد أقصى محلي

خطوة 10.8

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 12$ ، إذن $x = 12$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 12$ هي حد أدنى محلي

خطوة 10.9

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$ .

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

$x = 8$ هي حد أقصى محلي

$x = 12$ هي حد أدنى محلي

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

$x = 8$ هي حد أقصى محلي

$x = 12$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11