حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + \frac{4}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

خطوة 1.2.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{4}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

خطوة 2.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

خطوة 2.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

خطوة 2.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

خطوة 2.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

خطوة 2.3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

خطوة 2.3.10

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 x^{- 3}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 2.4.2

اجمع $8$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{8}{x^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + \frac{4}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

خطوة 4.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

خطوة 4.1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

خطوة 4.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

خطوة 4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 4.1.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

خطوة 4.1.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, x^{2}, 1$

خطوة 5.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x^{2}$

خطوة 5.3

اضرب كل حد في $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ في $x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب كل حد في $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ في $x^{2}$ .

$4 x^{3} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

اضرب $x^{3}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x^{3}) - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 5.3.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x^{2 + 3} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 5.3.2.1.1.3

أضف $2$ و $3$ .

$4 x^{5} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{5} - 4 = 0 x^{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب $0$ في $x^{2}$ .

$4 x^{5} - 4 = 0$

خطوة 5.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x^{5} = 4$

خطوة 5.4.2

اقسِم كل حد في $4 x^{5} = 4$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اقسِم كل حد في $4 x^{5} = 4$ على $4$ .

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

خطوة 5.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

خطوة 5.4.2.2.1.2

اقسِم $x^{5}$ على $1$ .

$x^{5} = \frac{4}{4}$

خطوة 5.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

اقسِم $4$ على $4$ .

$x^{5} = 1$

خطوة 5.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{1}$

خطوة 5.4.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = 1$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 6.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 6.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 1$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 {(1)}^{2} + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$12 \cdot 1 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

خطوة 9.1.2

اضرب $12$ في $1$ .

$12 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

خطوة 9.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$12 + \frac{8}{1}$

خطوة 9.1.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$12 + 8$

خطوة 9.2

أضف $12$ و $8$ .

$20$

خطوة 10

$x = 1$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = {(1)}^{4} + \frac{4}{1}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 1 + \frac{4}{1}$

خطوة 11.2.1.2

اقسِم $4$ على $1$ .

$f (1) = 1 + 4$

خطوة 11.2.2

أضف $1$ و $4$ .

$f (1) = 5$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$y = 5$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$ .

$(1, 5)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13