حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${\displaystyle 1+\frac{5}{x}-\frac{4}{x^2}}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$ هو ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[1\right]+\frac{d}{dx}\left[\frac{5}{x}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{4}{x^2}]}$.

بما أن ${\displaystyle 1}$ عدد ثابت بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$، فإن مشتق ${\displaystyle 1}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$ هو ${\displaystyle 0}$.

بما أن ${\displaystyle 5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$، إذن مشتق ${\displaystyle \frac{5}{x}}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$ يساوي ${\displaystyle 5\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]}$.

أعِد كتابة ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ بالصيغة ${\displaystyle x^{-1}}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ هو ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ حيث ${\displaystyle n=-1}$.

اضرب ${\displaystyle -1}$ في ${\displaystyle 5}$.

بما أن ${\displaystyle -4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$، إذن مشتق ${\displaystyle -\frac{4}{x^2}}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$ يساوي ${\displaystyle -4\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^2}\right]}$.

أعِد كتابة ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ بالصيغة ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-1}}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ هو ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ حيث ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ و${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ هو ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ حيث ${\displaystyle n=2}$.

اضرب الأُسس في ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-2}}$.

اضرب ${\displaystyle 2}$ في ${\displaystyle -1}$.

ارفع ${\displaystyle x}$ إلى القوة ${\displaystyle 1}$.

استخدِم قاعدة القوة ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ لتجميع الأُسس.

اطرح ${\displaystyle 4}$ من ${\displaystyle 1}$.

اضرب ${\displaystyle -2}$ في ${\displaystyle -4}$.

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

جمّع الحدود.

بما أن ${\displaystyle -5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$، إذن مشتق ${\displaystyle -\frac{5}{x^2}}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$ يساوي ${\displaystyle -5\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^2}\right]}$.

أعِد كتابة ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ بالصيغة ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-1}}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ هو ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ حيث ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ و${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ هو ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ حيث ${\displaystyle n=2}$.

اضرب الأُسس في ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-2}}$.

اضرب ${\displaystyle 2}$ في ${\displaystyle -1}$.

ارفع ${\displaystyle x}$ إلى القوة ${\displaystyle 1}$.

استخدِم قاعدة القوة ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ لتجميع الأُسس.

اطرح ${\displaystyle 4}$ من ${\displaystyle 1}$.

اضرب ${\displaystyle -2}$ في ${\displaystyle -5}$.

بما أن ${\displaystyle 8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$، إذن مشتق ${\displaystyle \frac{8}{x^3}}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$ يساوي ${\displaystyle 8\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^3}\right]}$.

أعِد كتابة ${\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ بالصيغة ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-1}}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ هو ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ حيث ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ و${\displaystyle g\left(x\right)=x^3}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ هو ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ حيث ${\displaystyle n=3}$.

اضرب الأُسس في ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-2}}$.

اضرب ${\displaystyle 3}$ في ${\displaystyle -1}$.

اضرب ${\displaystyle x^{-6}}$ في ${\displaystyle x^2}$ بجمع الأُسس.

اضرب ${\displaystyle -3}$ في ${\displaystyle 8}$.

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

جمّع الحدود.

أوجِد المشتقة.

احسِب قيمة ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{5}{x}\right]}$.

احسِب قيمة ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-\frac{4}{x^2}]}$.

بسّط.

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

Since ${\displaystyle x^2,x^3,1}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part ${\displaystyle 1,1,1}$ then find LCM for the variable part ${\displaystyle x^2,x^3}$.

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

العدد ${\displaystyle 1}$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

المضاعف المشترك الأصغر لـ ${\displaystyle 1,1,1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

عوامل ${\displaystyle x^2}$ هي ${\displaystyle x\cdot x}$، والتي تساوي حاصل ضرب ${\displaystyle x}$ في بعضها بمعدل ${\displaystyle 2}$ من المرات.

عوامل ${\displaystyle x^3}$ هي ${\displaystyle x\cdot x\cdot x}$، والتي تساوي حاصل ضرب ${\displaystyle x}$ في بعضها بمعدل ${\displaystyle 3}$ من المرات.

المضاعف المشترك الأصغر لـ ${\displaystyle x^2,x^3}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

بسّط ${\displaystyle x\cdot x\cdot x}$.

اضرب كل حد في ${\displaystyle -\frac{5}{x^2}+\frac{8}{x^3}=0}$ في ${\displaystyle x^3}$.

بسّط الطرف الأيسر.

بسّط الطرف الأيمن.

اطرح ${\displaystyle 8}$ من كلا المتعادلين.

اقسِم كل حد في ${\displaystyle -5x=-8}$ على ${\displaystyle -5}$ وبسّط.