حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} \sqrt[3]{x - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x - 2}$ في صورة ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.8.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.8.3

انقُل ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.8.4

اجمع $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.12.2

اضرب $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

خطوة 1.14

انقُل $2$ إلى يسار ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$

خطوة 1.15

جمّع $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ و $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.15.2

لكتابة $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.15.3

اجمع $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ و $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.15.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.16

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.17

اضرب ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.17.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.17.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.17.4

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.17.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.18

بسّط $6 x {(x - 2)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x (x - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.19.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.19.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.19.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.19.2.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.19.2.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.19.2.1.2

اضرب $- 2$ في $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.19.2.2

أضف $x^{2}$ و $6 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.19.3

أخرِج العامل $x$ من $7 x^{2} - 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.19.3.1

أخرِج العامل $x$ من $7 x^{2}$ .

$\frac{x (7 x) - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.19.3.2

أخرِج العامل $x$ من $- 12 x$ .

$\frac{x (7 x) + x \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.19.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x (7 x) + x \cdot - 12$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x (7 x - 12)$ و $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 7 x - 12$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x \frac{d}{d x} (7 x - 12) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x - 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.5.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.5.4

اضرب $7$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.5.5

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 + 0) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.5.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1

أضف $7$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x \cdot 7 + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.5.6.2

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 \cdot x + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.5.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 x + (7 x - 12) \cdot 1) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.5.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.8.1

اضرب $7 x - 12$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 x + 7 x - 12) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.5.8.2

أضف $7 x$ و $7 x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.10.2

اطرح $3$ من $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.11.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.11.3

انقُل ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.11.4

اجمع $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.14

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.15

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.15.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.15.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x) + {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.3

انقُل $- 12$ إلى يسار ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.5

اضرب $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (7 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.5.1

اضرب $7$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.5.2

اجمع $- 7$ و $\frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 (2 x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.5.3

اضرب $2$ في $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.5.4

اجمع $\frac{- 14 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.5.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 (x \cdot x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.5.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

خطوة 2.16.1.5.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.5.8

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.6.2

أخرِج العامل $3$ من $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.6.3

أخرِج العامل $3$ من $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot (3 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.6.4

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (3 \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.6.5

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 4}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.7

اجمع $\frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ و $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.8

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.10

اطرح $\frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ من $14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.10.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.10.2

لكتابة $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.10.3

اجمع $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ و $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.10.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.11

لكتابة $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.12

اجمع $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ و $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.14.1

أخرِج العامل $2$ من $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.14.1.1

أخرِج العامل $2$ من $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 14 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2}) - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.2

اضرب ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ في ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.14.2.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.2.4

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.2.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x (x - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.3

بسّط $7 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

خطوة 2.16.1.14.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.14.5.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 (x \cdot x) + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x^{2} + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.6

اضرب $- 2$ في $7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x^{2} - 14 x) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x^{2} \cdot 3 - 14 x \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.8

اضرب $3$ في $7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 14 x \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.9

اضرب $3$ في $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.10

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.11

اضرب ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ في ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.14.11.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.11.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.11.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.11.4

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.11.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.12

بسّط $- 6 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.13

اضرب $- 6$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 (x - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.14

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 x - 18 \cdot - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.15

اضرب $- 18$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.16

اطرح $7 x^{2}$ من $21 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (14 x^{2} - 42 x - 18 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.17

اطرح $18 x$ من $- 42 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (14 x^{2} - 60 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.18

أخرِج العامل $2$ من $14 x^{2} - 60 x + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.14.18.1

أخرِج العامل $2$ من $14 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) - 60 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.18.2

أخرِج العامل $2$ من $- 60 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x) + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.18.3

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x) + 2 (18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.18.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2} - 30 x) + 2 (18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.18.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (7 x^{2} - 30 x) + 2 (18)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2} - 30 x + 18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot (2 (7 x^{2} - 30 x + 18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.14.19

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.15

لكتابة $\frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3}{3}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.16

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.16.1

اضرب $\frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x \cdot 3}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.16.2

أعِد ترتيب عوامل ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x \cdot 3}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 8 x \cdot 3}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.18

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.18.1

أخرِج العامل $4$ من $4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 8 x \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1.18.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8 x \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 4 (2 x \cdot 3)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.18.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 4 (2 x \cdot 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18 + 2 x \cdot 3)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.18.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18 + 6 x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.1.18.3

أضف $- 30 x$ و $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.2.1

أعِد كتابة $\frac{\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ في صورة حاصل ضرب.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.2.2

اضرب $\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 2.16.2.3

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.16.2.4

اضرب ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.2.4.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{4}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 2.16.2.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

خطوة 2.16.2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

خطوة 2.16.2.4.4

أضف $4$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x - 2}$ في صورة ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.1.2

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.8.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.8.3

انقُل ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.8.4

اجمع $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.12.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.12.2

اضرب $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

خطوة 4.1.14

انقُل $2$ إلى يسار ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$

خطوة 4.1.15

جمّع $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ و $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.15.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

خطوة 4.1.15.2

لكتابة $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.15.3

اجمع $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ و $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.15.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.16

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.17

اضرب ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.17.1

انقُل ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.17.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.17.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.17.4

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.17.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.18

بسّط $6 x {(x - 2)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x (x - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.19.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.19.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.19.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.19.2.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.19.2.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.19.2.1.2

اضرب $- 2$ في $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.19.2.2

أضف $x^{2}$ و $6 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.19.3

أخرِج العامل $x$ من $7 x^{2} - 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.19.3.1

أخرِج العامل $x$ من $7 x^{2}$ .

$\frac{x (7 x) - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.19.3.2

أخرِج العامل $x$ من $- 12 x$ .

$\frac{x (7 x) + x \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.19.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x (7 x) + x \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x (7 x - 12) = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$7 x - 12 = 0$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة العبارة $7 x - 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

عيّن قيمة $7 x - 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 x - 12 = 0$

خطوة 5.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $7 x - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أضف $12$ إلى كلا المتعادلين.

$7 x = 12$

خطوة 5.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $7 x = 12$ على $7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $7 x = 12$ على $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

خطوة 5.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

خطوة 5.3.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{12}{7}$

خطوة 5.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (7 x - 12) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{12}{7}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{x (7 x - 12)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}$

خطوة 6.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x (7 x - 12)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 6.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ في صورة ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

بسّط ${(3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 6.3.2.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 6.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 6.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 6.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 {(x - 2)}^{2} = 0^{3}$

خطوة 6.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 6.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اقسِم كل حد في $27 {(x - 2)}^{2} = 0$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.1

اقسِم كل حد في $27 {(x - 2)}^{2} = 0$ على $27$ .

$\frac{27 {(x - 2)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 6.3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 {(x - 2)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 6.3.3.1.2.1.2

اقسِم ${(x - 2)}^{2}$ على $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{27}$

خطوة 6.3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $27$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 6.3.3.2

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 6.3.3.3

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, \frac{12}{7}, 2$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{4 (7 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{4 (7 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 9.1.2

اضرب $7$ في $0$ .

$\frac{4 (0 - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 9.1.3

اضرب $- 24$ في $0$ .

$\frac{4 (0 + 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 9.1.4

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{4 (0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 9.1.5

أضف $0$ و $18$ .

$\frac{4 \cdot 18}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 9.2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $2$ من $0$ .

$\frac{4 \cdot 18}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 9.2.2

اضرب $4$ في $18$ .

$\frac{72}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 9.2.3

أخرِج العامل $9$ من $72$ .

$\frac{9 \cdot 8}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 9.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أخرِج العامل $9$ من $9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 \cdot 8}{9 ({(- 2)}^{\frac{5}{3}})}$

خطوة 9.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 \cdot 8}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 9.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8}{{(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{2} \sqrt[3]{(0) - 2}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 \sqrt[3]{(0) - 2}$

خطوة 11.2.2

اطرح $2$ من $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{- 2}$

خطوة 11.2.3

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{- 1 \cdot 2}$

خطوة 11.2.3.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

خطوة 11.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (0) = 0 (- 1 \sqrt[3]{2})$

خطوة 11.2.5

أعِد كتابة $- 1 \sqrt[3]{2}$ بالصيغة $- \sqrt[3]{2}$ .

$f (0) = 0 (- \sqrt[3]{2})$

خطوة 11.2.6

اضرب $0 (- \sqrt[3]{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.6.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{2}$

خطوة 11.2.6.2

اضرب $0$ في $\sqrt[3]{2}$ .

$f (0) = 0$

خطوة 11.2.7

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{12}{7}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{4 (7 {(\frac{12}{7})}^{2} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {((\frac{12}{7}) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{12}{7}$ .

$\frac{4 (7 \frac{12^{2}}{7^{2}} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.2

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4 (7 \frac{144}{7^{2}} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.3

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4 (7 (\frac{144}{49}) - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.4.1

أخرِج العامل $7$ من $49$ .

$\frac{4 (7 \frac{144}{7 (7)} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (7 \frac{144}{7 \cdot 7} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 (\frac{144}{7} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.5

اضرب $- 24 (\frac{12}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.5.1

اجمع $- 24$ و $\frac{12}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{144}{7} + \frac{- 24 \cdot 12}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.5.2

اضرب $- 24$ في $12$ .

$\frac{4 (\frac{144}{7} + \frac{- 288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4 (\frac{144}{7} - \frac{288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 (\frac{144 - 288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.8

اطرح $288$ من $144$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.9

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + 18 \cdot \frac{7}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.10

اجمع $18$ و $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + \frac{18 \cdot 7}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 \frac{- 144 + 18 \cdot 7}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.12.1

اضرب $18$ في $7$ .

$\frac{4 \frac{- 144 + 126}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.12.2

أضف $- 144$ و $126$ .

$\frac{4 (\frac{- 18}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{18}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.14

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.14.1

أخرِج السالب.

$\frac{- (4 (\frac{18}{7}))}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.14.2

اجمع $4$ و $\frac{18}{7}$ .

$\frac{- \frac{4 \cdot 18}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.1.14.3

اضرب $4$ في $18$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{7}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12 - 2 \cdot 7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.4.1

اضرب $- 2$ في $7$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12 - 14}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.2.4.2

اطرح $14$ من $12$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{- 2}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(- \frac{2}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.2.6

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.6.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{2}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{2}{7})}^{\frac{5}{3}})}$

خطوة 13.2.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

خطوة 13.2.7

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

خطوة 13.2.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

خطوة 13.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

خطوة 13.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{5} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

خطوة 13.2.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

خطوة 13.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب $- 1$ في $9$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{- 9 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 13.3.2

اجمع $- 9$ و $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{\frac{- 9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 13.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- \frac{72}{7}}{- \frac{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 13.4.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{72}{7}}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 13.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{72}{7} \cdot \frac{7^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.6

اجمع.

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7 (9 \cdot 2^{\frac{5}{3}})}$

خطوة 13.7

انقُل $7^{1}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{5}{3}} \cdot 7^{- 1}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.8

اضرب $7^{\frac{5}{3}}$ في $7^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.8.1

انقُل $7^{- 1}$ .

$\frac{72 \cdot (7^{- 1} \cdot 7^{\frac{5}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.8.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{72 \cdot 7^{- 1 + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.8.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.8.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.8.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.8.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.8.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 3 + 5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.8.6.2

أضف $- 3$ و $5$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.9

أخرِج العامل $9$ من $72 \cdot 7^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.10

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.10.1

أخرِج العامل $9$ من $9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 (2^{\frac{5}{3}})}$

خطوة 13.10.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 13.10.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 14

$x = \frac{12}{7}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{12}{7}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{12}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{12}{7}$ في العبارة.

$f (\frac{12}{7}) = {(\frac{12}{7})}^{2} \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{12}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{2}}{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

خطوة 15.2.2

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

خطوة 15.2.3

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

خطوة 15.2.4

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7}}$

خطوة 15.2.5

اجمع $- 2$ و $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7}}$

خطوة 15.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12 - 2 \cdot 7}{7}}$

خطوة 15.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.7.1

اضرب $- 2$ في $7$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12 - 14}{7}}$

خطوة 15.2.7.2

اطرح $14$ من $12$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 2}{7}}$

خطوة 15.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{- \frac{2}{7}}$

خطوة 15.2.9

أعِد كتابة $- \frac{2}{7}$ بالصيغة ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{2}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.9.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{2}{7})}$

خطوة 15.2.9.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{2}{7})}$

خطوة 15.2.10

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{2}{7}})$

خطوة 15.2.11

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{2}{7}})$

خطوة 15.2.12

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}})$

خطوة 15.2.13

اضرب $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}))$

خطوة 15.2.14

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.14.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}})$

خطوة 15.2.14.2

ارفع $\sqrt[3]{7}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}})$

خطوة 15.2.14.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}})$

خطوة 15.2.14.4

أضف $1$ و $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}})$

خطوة 15.2.14.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ بالصيغة $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.14.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

خطوة 15.2.14.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

خطوة 15.2.14.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}})$

خطوة 15.2.14.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.14.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}})$

خطوة 15.2.14.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7})$

خطوة 15.2.14.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7})$

خطوة 15.2.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.15.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{7^{2}}}{7})$

خطوة 15.2.15.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{49}}{7})$

خطوة 15.2.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.16.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2 \cdot 49}}{7})$

خطوة 15.2.16.2

اضرب $2$ في $49$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{98}}{7})$

خطوة 15.2.17

اضرب $\frac{144}{49} (- \frac{\sqrt[3]{98}}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.17.1

اضرب $\frac{144}{49}$ في $\frac{\sqrt[3]{98}}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{49 \cdot 7}$

خطوة 15.2.17.2

اضرب $49$ في $7$ .

$f (\frac{12}{7}) = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$

خطوة 15.2.18

الإجابة النهائية هي $- \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$ .

$y = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 17.1.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 17.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

خطوة 17.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

خطوة 17.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{5}}$

خطوة 17.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0}$

خطوة 17.3.2

اضرب $9$ في $0$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{0}$

خطوة 17.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{0}$

خطوة 17.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 18

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{7}) \cup (\frac{12}{7}, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 18.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{(- 2) (7 (- 2) - 12)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.2.1.1

اضرب $7$ في $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 (- 14 - 12)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.2.2.1.2

اطرح $12$ من $- 14$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 26}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.2.2.1

اطرح $2$ من $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 26}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.2.2.2.2

اضرب $- 2$ في $- 26$ .

$f' (- 2) = \frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.2.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.3

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(0, \frac{12}{7})$ في المشتق الأول $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{(1) (7 (1) - 12)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.2.1

اضرب $7 (1) - 12$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(1 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.2.2.1

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.3.2.2.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.3.2.2.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 18.3.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 18.3.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{2}}$

خطوة 18.3.2.2.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 \cdot 1}$

خطوة 18.3.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.2.3.1

اضرب $7$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{7 - 12}{3 \cdot 1}$

خطوة 18.3.2.3.2

اطرح $12$ من $7$ .

$f' (1) = \frac{- 5}{3 \cdot 1}$

خطوة 18.3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.2.4.1

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5}{3}$

خطوة 18.3.2.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (1) = - \frac{5}{3}$

خطوة 18.3.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

خطوة 18.4

عوّض بأي عدد، مثل $1.86$ ، من الفترة $(\frac{12}{7}, 2)$ في المشتق الأول $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.86$ في العبارة.

$f' (1.86) = \frac{(1.86) (7 (1.86) - 12)}{3 {((1.86) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.2.1

اضرب $1.86$ في $7 (1.86) - 12$ .

$f' (1.86) = \frac{1.8972}{3 {(1.86 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.4.2.2

اطرح $2$ من $1.86$ .

$f' (1.86) = \frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.4.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.5

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = \frac{(4) (7 (4) - 12)}{3 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.2.1.1

اضرب $7$ في $4$ .

$f' (4) = \frac{4 (28 - 12)}{3 {(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.5.2.1.2

اطرح $12$ من $28$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot 16}{3 {(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.5.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.2.2.1

اطرح $2$ من $4$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot 16}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.5.2.2.2

اضرب $4$ في $16$ .

$f' (4) = \frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.5.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 18.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{12}{7}$ ، إذن $x = \frac{12}{7}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = \frac{12}{7}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 18.8

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = 2$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 18.9

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{2} \sqrt[3]{x - 2}$ .

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{12}{7}$ هي حد أدنى محلي

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{12}{7}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 19