حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin (x + \frac{π}{2})$

خطوة 1

اكتب $y = \sin (x + \frac{π}{2})$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + \frac{π}{2}$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

خطوة 2.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $\cos (x + \frac{π}{2})$ في $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2})$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

خطوة 3.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

خطوة 3.2.3

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

خطوة 3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2})$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

خطوة 5

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 7

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اطرح $\frac{π}{2}$ من كلا المتعادلين.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π - π}{2}$

خطوة 7.3

اطرح $π$ من $π$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 7.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 8

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 9.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 9.1.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

خطوة 9.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $\frac{π}{2}$ من كلا المتعادلين.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

خطوة 9.2.3

اطرح $π$ من $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

خطوة 9.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 π}{2}$

خطوة 9.2.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$x = π$

خطوة 10

حل المعادلة $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = 0, π$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \sin ((0) + \frac{π}{2})$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $0$ و $\frac{π}{2}$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 12.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 12.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 13

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{2})$

خطوة 14.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

أضف $0$ و $\frac{π}{2}$ .

$f (0) = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 14.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (0) = 1$

خطوة 14.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = π$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \sin ((π) + \frac{π}{2})$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 16.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 16.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

خطوة 16.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$- \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

خطوة 16.3.2

أضف $2 π$ و $π$ .

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 16.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16.6

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- - 1$

خطوة 16.6.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1$

خطوة 17

$x = π$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 18

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$f (π) = \sin ((π) + \frac{π}{2})$

خطوة 18.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 18.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 18.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

خطوة 18.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$f (π) = \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

خطوة 18.2.3.2

أضف $2 π$ و $π$ .

$f (π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 18.2.4

$f (π) = - \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 18.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

خطوة 18.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (π) = - 1$

خطوة 18.2.7

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 19

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$ .

$(0, 1)$ هي نقطة قصوى محلية

$(π, - 1)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 20