حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x + \sqrt{1 - x}$

خطوة 1

اكتب $x + \sqrt{1 - x}$ في صورة دالة.

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \sqrt{1 - x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 - x}$ في صورة ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.2.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.2.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

خطوة 2.2.13

اطرح $1$ من $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

خطوة 2.2.14

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.2.15

اجمع $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

خطوة 2.2.16

انقُل $- 1$ إلى يسار ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.2.17

أعِد كتابة $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ بالصيغة $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.2.18

انقُل ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.2.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 3.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3.2.4

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x)))$

خطوة 3.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

خطوة 3.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

خطوة 3.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)))))$

خطوة 3.2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x)))))$

خطوة 3.2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x))))$

خطوة 3.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.9

اضرب الأُسس في ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.10

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.11

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.13.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.13.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

خطوة 3.2.15

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))))$

خطوة 3.2.16

اطرح $1$ من $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1))$

خطوة 3.2.17

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1))$

خطوة 3.2.18

اجمع $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2})$

خطوة 3.2.19

انقُل $- 1$ إلى يسار ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 3.2.20

أعِد كتابة $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ بالصيغة $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 3.2.21

انقُل ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 3.2.22

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

خطوة 3.2.23

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (1 {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

خطوة 3.2.24

اضرب ${(1 - x)}^{- 1}$ في $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

خطوة 3.2.25

اجمع ${(1 - x)}^{- 1}$ و $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(1 - x)}^{- 1}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.2.26

انقُل ${(1 - x)}^{- 1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

خطوة 3.2.27

اضرب ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ في $1 - x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.27.1

انقُل $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 3.2.27.2

اضرب $1 - x$ في ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.27.2.1

ارفع $1 - x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 3.2.27.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

خطوة 3.2.27.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

خطوة 3.2.27.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

خطوة 3.2.27.5

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.2.28

اضرب $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

خطوة 3.2.29

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.3

اطرح $\frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ من $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \sqrt{1 - x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

خطوة 5.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 - x}$ في صورة ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5.1.2.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 5.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 5.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 5.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 5.1.2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 5.1.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.1.2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.1.2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.1.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.1.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.1.2.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.1.2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.1.2.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

خطوة 5.1.2.13

اطرح $1$ من $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

خطوة 5.1.2.14

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

خطوة 5.1.2.15

اجمع $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

خطوة 5.1.2.16

انقُل $- 1$ إلى يسار ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 5.1.2.17

أعِد كتابة $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ بالصيغة $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 5.1.2.18

انقُل ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.1.2.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 6.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

خطوة 6.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}, 1$

خطوة 6.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.4

اضرب كل حد في $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ في $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ في $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 1 = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

خطوة 6.5.2

اقسِم كل حد في $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 6.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 6.5.2.2.2

اقسِم ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 6.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.3

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.5.4

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.1.1

بسّط ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.1.1.1

اضرب الأُسس في ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.5.4.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.5.4.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(1 - x)}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.5.4.1.1.2

بسّط.

$1 - x = {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.2.1

بسّط ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$1 - x = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

خطوة 6.5.4.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - x = \frac{1}{2^{2}}$

خطوة 6.5.4.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$1 - x = \frac{1}{4}$

خطوة 6.5.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.5.1.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- x = \frac{1}{4} - 1$

خطوة 6.5.5.1.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 6.5.5.1.3

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

خطوة 6.5.5.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- x = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

خطوة 6.5.5.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.5.1.5.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- x = \frac{1 - 4}{4}$

خطوة 6.5.5.1.5.2

اطرح $4$ من $1$ .

$- x = \frac{- 3}{4}$

خطوة 6.5.5.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- x = - \frac{3}{4}$

خطوة 6.5.5.2

اقسِم كل حد في $- x = - \frac{3}{4}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.5.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - \frac{3}{4}$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

خطوة 6.5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

خطوة 6.5.5.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

خطوة 6.5.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.5.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

خطوة 6.5.5.2.3.2

اقسِم $\frac{3}{4}$ على $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{{(1 - x)}^{1}}}$

خطوة 7.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

خطوة 7.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$2 \sqrt{1 - x} = 0$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(2 \sqrt{1 - x})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 7.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 - x}$ في صورة ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 7.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

بسّط ${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 7.3.2.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 7.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 7.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 7.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 {(1 - x)}^{1} = 0^{2}$

خطوة 7.3.2.2.1.4

بسّط.

$4 (1 - x) = 0^{2}$

خطوة 7.3.2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cdot 1 + 4 (- x) = 0^{2}$

خطوة 7.3.2.2.1.6

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.6.1

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + 4 (- x) = 0^{2}$

خطوة 7.3.2.2.1.6.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$4 - 4 x = 0^{2}$

خطوة 7.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 - 4 x = 0$

خطوة 7.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- 4 x = - 4$

خطوة 7.3.3.2

اقسِم كل حد في $- 4 x = - 4$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 4 x = - 4$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

خطوة 7.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

خطوة 7.3.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 4}$

خطوة 7.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 4$ .

$x = 1$

خطوة 7.4

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{1 - x}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$1 - x < 0$

خطوة 7.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x < - 1$

خطوة 7.5.2

اقسِم كل حد في $- x < - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

اقسِم كل حد في $- x < - 1$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 7.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 7.5.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x > \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 7.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x > 1$

خطوة 7.6

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{3}{4}, 1$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{1}{4 {(1 - (\frac{3}{4}))}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{1}{4 {(\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 10.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{4 {(\frac{4 - 3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 10.1.3

اطرح $3$ من $4$ .

$- \frac{1}{4 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 10.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

خطوة 10.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

خطوة 10.1.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

خطوة 10.1.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

خطوة 10.1.6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.6.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

خطوة 10.1.6.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{3}}}$

خطوة 10.1.6.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

خطوة 10.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

خطوة 10.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

خطوة 10.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

خطوة 10.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

خطوة 10.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

خطوة 10.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (1 \cdot 2)$

خطوة 10.4

اضرب $- (1 \cdot 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اضرب $2$ في $1$ .

$- 1 \cdot 2$

خطوة 10.4.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2$

خطوة 11

$x = \frac{3}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4}) + \sqrt{1 - (\frac{3}{4})}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

خطوة 12.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4 - 3}{4}}$

خطوة 12.2.1.3

اطرح $3$ من $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}}$

خطوة 12.2.1.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

خطوة 12.2.1.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{4}}$

خطوة 12.2.1.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 12.2.1.6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

خطوة 12.2.2

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 12.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 12.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

خطوة 12.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 + 2}{4}$

خطوة 12.2.5

أضف $3$ و $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{5}{4}$

خطوة 12.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{1}{4 {(1 - (1))}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{4 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 14.1.2

اطرح $1$ من $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 14.1.3

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 14.1.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 14.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 14.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 14.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

خطوة 14.3.2

اضرب $4$ في $0$ .

$- \frac{1}{0}$

خطوة 14.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{1}{0}$

خطوة 14.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 15

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 16