حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{2 x} - e^{x}$

خطوة 1

اكتب $y = e^{2 x} - e^{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} - e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 e^{2 x} - e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 3.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 3.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 3.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 3.2.7

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - e^{x}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} - e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 5.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 5.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 5.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 5.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 5.1.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 5.1.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 e^{2 x} - e^{x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 e^{2 x} - e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

خطوة 6.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $e^{2 x}$ بالصيغة ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - e^{x} = 0$

خطوة 6.2.2

لنفترض أن $u = e^{x}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $e^{x}$ .

$2 u^{2} - u = 0$

خطوة 6.2.3

أخرِج العامل $u$ من $2 u^{2} - u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

أخرِج العامل $u$ من $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

خطوة 6.2.3.2

أخرِج العامل $u$ من $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

خطوة 6.2.3.3

أخرِج العامل $u$ من $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

خطوة 6.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x}$ .

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$

خطوة 6.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 e^{x} - 1 = 0$

خطوة 6.4

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 6.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 6.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 6.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 6.5

عيّن قيمة العبارة $2 e^{x} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

عيّن قيمة $2 e^{x} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

خطوة 6.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 e^{x} - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 e^{x} = 1$

خطوة 6.5.2.2

اقسِم كل حد في $2 e^{x} = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 e^{x} = 1$ على $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2.2.1.2

اقسِم $e^{x}$ على $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

خطوة 6.5.2.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.4.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

خطوة 6.5.2.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

خطوة 6.5.2.4.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

خطوة 6.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$ صحيحة.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \ln (\frac{1}{2})$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

بسّط $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$4 e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 10.1.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 10.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 10.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 10.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 10.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 10.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 10.1.7

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$1 - \frac{1}{2}$

خطوة 10.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 10.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 - 1}{2}$

خطوة 10.2.3

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 11

$x = \ln (\frac{1}{2})$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \ln (\frac{1}{2})$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \ln (\frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\ln (\frac{1}{2})$ في العبارة.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

بسّط $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 12.2.1.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 12.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 12.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 12.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

خطوة 12.2.1.6

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

خطوة 12.2.2

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 12.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 12.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

خطوة 12.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1 - 2}{4}$

خطوة 12.2.5

اطرح $2$ من $1$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{- 1}{4}$

خطوة 12.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = - \frac{1}{4}$

خطوة 12.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

خطوة 13

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = e^{2 x} - e^{x}$ .

$(\ln (\frac{1}{2}), - \frac{1}{4})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 14