حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + \cos (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 1.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$1 - \sin (2 x) \cdot 2$

خطوة 1.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$1 - 2 \sin (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 2.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

خطوة 2.2.7

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

خطوة 2.3

اطرح $4 \cos (2 x)$ من $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$1 - 2 \sin (2 x) = 0$

خطوة 4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin (2 x) = - 1$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (2 x) = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (2 x) = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $\sin (2 x)$ على $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

خطوة 6

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{6}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{6}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 8.3.2

اضرب $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اضرب $\frac{π}{6}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

خطوة 8.3.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

خطوة 9

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 10.1.2

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 10.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 10.1.4

اطرح $π$ من $π \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.4.1

أعِد ترتيب $π$ و $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 10.1.4.2

اطرح $π$ من $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

خطوة 10.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

خطوة 10.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

خطوة 10.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

خطوة 10.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 10.2.3.2

اضرب $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.2.1

اضرب $\frac{5 π}{6}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

خطوة 10.2.3.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

خطوة 11

حل المعادلة $2 x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{12}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

خطوة 13.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

خطوة 13.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 \cos (\frac{π}{6})$

خطوة 13.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \sqrt{3}$

خطوة 14

$x = \frac{π}{12}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{12}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{12}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{12}) = (\frac{π}{12}) + \cos (2 (\frac{π}{12}))$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

خطوة 15.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

خطوة 15.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

خطوة 15.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 15.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{5 π}{12}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 4 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

خطوة 17.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

خطوة 17.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 \cos (\frac{5 π}{6})$

خطوة 17.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- 4 (- \cos (\frac{π}{6}))$

خطوة 17.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 17.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (- \sqrt{3})$

خطوة 17.5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 \sqrt{3}$

خطوة 18

$x = \frac{5 π}{12}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{5 π}{12}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 19

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{5 π}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{12}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{12}) = (\frac{5 π}{12}) + \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

خطوة 19.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

خطوة 19.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

خطوة 19.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

خطوة 19.2.1.2

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

خطوة 19.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 19.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 20

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 21