حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \sqrt{1 - x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 - x}$ في صورة ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

خطوة 2.13

اطرح $1$ من $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

خطوة 2.14

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.15

اجمع $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

خطوة 2.16

انقُل $- 1$ إلى يسار ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.17

أعِد كتابة $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ بالصيغة $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.18

انقُل ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$